İçerdeki ifadenin tamamını düşünüyoruz. $(x-2) $ negatif ise $ -(x-2)$
olarak çıkacak ve değilse $ (x-2)$ olarak çıkacak:
\[|x-2| = \begin{cases}
\text{$x-2 \lt 0$ ise,} & -x+2 \\
\text{$x-2 \geq 0$ ise,} & x-2 \\
\end{cases}
\]
Bu adımdan sonra $x$ hakkında düşünebiliriz.

* İlk durumda $x-2 \lt 0 \Rightarrow x \lt 2 $,
* ikinci durumda $ x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ olur.

Mutlak değeri, $ 0 $'a uzaklık olarak da düşünebiliriz. Bu eşitsizliğin çözümü $ x \gt 2 $ ve $ x \lt -2 $ dir. Çözümü reel sayı doğrusunda gösterirsek

Bu durumda ifade $(-3,3)$ aralığında olmalıdır, yani yukarıdaki örneğin tam tersi.
\[ -3 \lt x+3 \lt 3 \Rightarrow -6 \lt x \lt 0 \]

Mutlak değerli bir ifade asla negatif olamaz bu durumda içeride ne yazdığı,
sadece tanımsızlık durumlarında önemlidir. Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir.

Mutlak değerli bir ifade hep pozitiftif diye düşünerek çözüm kümesine tüm reel sayılar demek yanlış olur. Mutlak değer dışına negatif çıkamaz, bunun anlamı mutlak değerli bir ifadenin hep $\geq 0$ olacağıdır. Verilen ifadeyi $0$ yapan değerleri reel sayılardan atmalıyız
\[x \in \mathbb{R}- \{-2,2\} \]

Bu ifadenin çok daha zorlarını ileride inceleyecek olsak da, çözümün bilinmesi faydalıdır. Burada karesi kendisinden küçük olan sayılar sorulmaktadır. Karesi kendisinden küçük sayılar $ (0,1)$ aralığındadırlar.

Pozitif reel sayıların tüm üsleri pozitiftir. Negatif veya $0 $ olamazlar. Verilen ifadeyi düşünürsek $3 $ ün negatif üsleri de pozitiftir, üsteki negatif ifade sadece ters çevirmemiz gerektiğini anlatmaktadır:
$ 3^{-10}=\frac{1}{3^{10}} \gt 0 $

Bir eşitsizliğin iki yanını pozitif bir sayı ile çarpınca/bölünce eşitsizlik yön değiştirmez ancak negatif bir sayı ile çarpınca/bölünce eşitsizlik yön değiştirir.

$ 2^x$ ifadesi hep pozitiftir. Dolayısıyla atılabilir. $ x-1 \lt 0$ ise tüm ifade de negatiftir, $ x-1 \gt 0$ ise aynı şekilde tüm ifade pozitiftir. $ x-1 \lt 0 \Rightarrow x \lt 1$ çözüm kümesi olmaktadır.

Yukarıdaki uyarı değişken içeren ifadelerle çarparken de geçerlidir. Örneğin
\[ \frac{1}{x+1} \lt 2 \]
Burada her iki tarafı $ x+1$ ile çarparak ya da içler dışlar çarpımı yaparak $ 1 \lt 2x+2$ eşitsizliğini çözmek yanlıştır. Bu çarpma sadece $ x+1 \gt 0$ şartıyla geçerlidir.Bu durumda çözüm kümesi sadece $ x \gt \frac{-1}{2}$ olarak görünür.

Bunun yerine her iki taraftan aynı ifade veya sayı çıkarılıp toplanabilir, bu durumda eşitsizliğin yönü hiçbir şekilde değişmez. Yani bir ifade ya da sayı bir taraftan öbürüne geçirilebilir. Yukarıdaki örnekte

\begin{align*}
\frac{1}{x+1} & \lt 2\\ \frac{1}{x+1}-2 & \lt 0 \\
\frac{1-2(x+1)}{x+1} & \lt 0 \\
\frac{-2x-1}{x+1} & \lt 0
\end{align*}

Bu ifadeleri ilerde ayrıntı ile inceleyecek olsak da yukarıda $ x \lt -1$ in payı pozitif paydayı negatif yaptığı ve çözüm kümesine dahil olduğu açıktır.

Gene özünde her iki tarafın negatif bir sayı ile çarpılması ile ilgili olan bir yanılgı da $ -1 \lt x \lt 3$ ifadesinden $1 \lt x^2 \lt 9 $ sonucunun çıkarılmasıdır. Basit eşitsizlik konusunda öğrenildiği gibi negatiften pozitife geçilen bir durum varsa, eşitsizlik iki parçaya ayrılır.
\[ -1 \lt x\leq 0 \text{ ve } 0\leq x \lt 3 \]
Bu durumda $ 0\leq x^2 \lt 9$ olduğu görülebilir.