Çarpanlara Ayırma Temel Kavramlar


Çarpanlara ayırma, parantez içindeki ifadelerin birbiriyle çarpılarak genişletilme işleminin tam tersidir.


Örneğin
$3(x+2)$ ifadesi $3x+6$ olarak da yazılabilir, çarpanlara ayırma $3x+6$ ifadesinden $3(x+2)$ ifadesine ulaşmalıdır.


Bu iki ifade özdeştir, $x$'in her değeri için aynı değere sahiptir.

Ortak Çarpanlar

Ortak çarpanlara ayırma, bütün ifadelerde ortak olarak bulunan çarpanlara dayanır.

Örneğin:

$2x-8x^2$ ortak çarpanlarına şöyle ayrılır.
\begin{align*}
2x-8x^2=2x(1-4x)
\end{align*}


İşaret değiştirerek çarpanlara ayırma



Örnek

$4(a-3)-b(3-a)$ ifadesini çarpanlarına ayırınız?


Çözüm

Soruyu çözerken "işaret değiştirme" yöntemini kullanacağız.

(a-3)=-(3-a) eşitliğine dikkat edelim.
\begin{align*}
4(a-3)-b(3-a) &= 4(a-3)-[-b(a-3)] \\
&=4(a-3)+b(a-3) \\
&= (a-3) \cdot (4+b)
\end{align*}





İki kare farkı



$(ax+b)(ax-b)=a^2x^2-b^2$ olduğunu biliyoruz.

Demek ki

$a^2x^2-b^2$ ifadesi $(ax+b)(ax-b)$
olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Aynı şekilde



$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Örnek:

$x^2-9$ ifadesi $x^2-3^2$ olarak da ifade edilebilir, ifade iki kare farkıdır.

$x^2-y^2$ gibi ifadeleri hemen $(x-y)(x+y)$ biçiminde çarpanlarına ayırabiliriz.



Bir ifadenin İki kare farkı olması için


gerekir. Örneğin: $b^2-1, \quad 49-16, \quad 4x^2-9, \quad -36+c^2 $ gibi.




Örnek


$3a(a^2-9)-11(a^2-9)$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.


Çözüm

1. Adım: Önce ifadeyi ortak çarpan olan $(a^2-9)$ parantezine alırız.

$(a^2-9)(3a-11)$

2. Adım: İki kare farkını çarpanlarına ayırırız.
$(a^2-9)(3a-11)=(a+3)(a-3)(3a-11)$



Aşağıdaki alıştırmaları yapınız...

$2x+4y $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$2(x+2y)$

$6x^2+2x+20x^3 $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$2x(10x^2+3x+1)$

$3xy^2+xy^2z+5xy$
+ cevabı göster - cevabı gizle
$xy(3y+yz+5)$

$-3ab^2-9a^2b $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$-3ab(b+3a)$

$12ab-3bc $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$3b(4a-c)$

$18kj+24kc $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$6k(3j+4c))$

$9a^2-4 $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$(3a+2)(3a-2)$

$-12a+24a^3 $
+ cevabı göster - cevabı gizle
$12a(2a^2-1)$ ya da $-12a(1-2a^2)$

$-x^2y-y^2x$
+ cevabı göster - cevabı gizle
$-xy(x+y)$

$xa(x+4)-6a(x+4) $
+ cevabı göster - cevabı gizle

\begin{align*}
xa(x+4)-6a(x+4) &= (x+4)(xa-6a) \\
&=a(x+4)(x-6)
\end{align*}

$x^2(x+5)+16(x+5)$
+ cevabı göster - cevabı gizle

\begin{align*}
x^2(x+5)-16(x+5) &= (x+5)(x^2-16) \\
&=(x+5)(x+4)(x-4)
\end{align*}

$ 5b(b-4)-7(4-b) $
+ cevabı göster - cevabı gizle

\begin{align*}
5b(b-4)-7(4-b) &= 5b(b-4)-[-7(b-4)] \\
&=5b(b-4)+7(b-4) \\
&=(b-4)(5b+7)
\end{align*}

$ x^2y^2z^2-1 $
+ cevabı göster - cevabı gizle

\begin{align*}
x^2y^2z^2- &= (xyz)^2-(1^2) \\
&=(xyz+1)(xyz-1) \\
\end{align*}



İkili gruplara ayırarak çarpanlara ayırma

Ortak çarpanları bulma çarpanlara ayırmanın başlangıç noktasıdır. $4x+4$ gibi bir ifadenin çarpanlarının $4(x+1)$ olduğunu görmüştük, aynı şekilde $6x^2+6x$ gibi bir ifadenin de çarpanları 6x(x+1) 'dir. Ama şöyle bir ifademiz varsa




$3x^2+3x+5x+5$



ilk bakışta bütün terimlerin ortak bir çarpanı olmadığını görürüz. Bu tür ifadeleri şu şekilde çarpanlarına ayırırız:



$(3x^2+3x)+(5x+5)=3x(x+1)+5(x+1)$



görüldüğü gibi $(x+1)$ ortak bir çarpan, şimdi de ifadeyi şöyle yazabiliriz.



$(x+1)(3x+5)$

Örnek

$8a+16b+xa+2xb$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.




Çözüm


Tüm terimlerin ortak bir çarpanını göremediğimiz için
ortak çarpanları olan terimleri gruplamamız gerekir.



\begin{align*}
8a+16b+xa+2xb &= (8a+16b)+(xa+2xb) \\
&= 8(a+2b)+x(a+2b) \\
&= (a+2b)(8+x)
\end{align*}

Terimleri şu şekilde de gruplayıp aynı çözüme ulaşabilirdik,
\begin{align*}
8a+16b+xa+2xb &= (8a+xa)+(16b+2xb) \\
&= a(8+x)+2b(8+x) \\
&= (a+2b)(8+x)
\end{align*}




Aşağıdaki alıştırmaları kendiniz yapmaya çalışın, cevapları görmek için cevabı göstere tıklayabilirsiniz...

$ 6a+b+2ab+3 $
+ cevabı göster - cevabı gizle

\begin{align*}
5b(b-4)-7(4-b) &= 5b(b-4)-[-7(b-4)] \\
&=5b(b-4)+7(b-4) \\
&=(b-4)(5b+7)
\end{align*}




İkinci dereceden denklemler ve çarpanlara ayırma


$x^2+8x+15$ gibi bir ifade $1.$ dereceden iki terimin birbiriyle çarpılmış halidir.
$x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$
Bu çarpanları kolayca bulmak için önce biraz cevabını direkt verdiğimiz soruyu inceleyelim.

$(x+3)(x+5)=x^2+5x+3x+15$ çarpımında da görüldüğü gibi bu iki birinci dereceden ifadenin çarpımı sırasında

$x$'li terimlerin çarpımı ikinci dereceden ifadenin $x^2$'li terimi oluşturuyor $x \cdot x =x^2$,

$x$'li terimlerin sabit terimlerle çarpımlarının toplamı da ikinci dereceden ifademizdeki orta terimi oluşturuyor $5x+3x=8x$,

sabit terimlerin birbiriyle çarpımı ise 2. derece ifademizin sabit terimini oluşturuyor $3 \cdot 5=15$ .

Yani bizim yapmamız gereken, 2. dereceden ifademizin sabit teriminin uygun iki çarpanını bularak, $x$'li terimlerle çarpımlarının toplamıyla ortadaki terime ulaşabiliyor muyuz ona bakmak.
15'in çarpanları ve x'ler birbiriyle hangi çarpımları oluşturabilir bir tabloyla gösterelim.
\begin{align*}
& \underline{x \hspace{0.5cm} } \qquad & \underline{x \hspace{0.7cm} } \\ \\
&15 \qquad & 1 \\
-&15 \qquad & -1 \\
&5 \qquad & 3 \\
-&5 \qquad & -3 \\
\end{align*}
Şimdi çarpım seçeneklerine bakalım,













1. Seçenek2. Seçenek3. Seçenek4. Seçenek
$(x+1)(x+15)$$(x-1)(x-15)$$(x+5)(x+3)$$(x-5)(x-3)$

Şimdi de bütün seçeneklerin açık halini yazalım ve hangi ikilinin doğru sonucu verdiğine bakalım.




















1. Seçenek2. Seçenek3. Seçenek4. Seçenek
$(x+1)(x+15)$$(x-1)(x-15)$$(x+5)(x+3)$$(x-5)(x-3)$
$x^2+16x+15$$x^2-15x+15$$x^2+8x+15$$x^2-8x+15$

3. Seçeneğin doğru olduğunu görüyoruz. Genel olarak çarpanlara ayırma için uygun çarpanları bulmak gerekir, daha çok örnek yaparak hızlıca uygun çarpanları görme yetisi geliştirilebilir. İleride çözümlü sorular yapacağız.

3 Terimli Bir İfadenin Çarpanlarına Ayrılmasında izlenecek yola bakalım.
$ax^2+bx+c$ gibi bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için:
1. Adım:
Önce a, b, c sabitlerinin ortak bir çarpanı var mı buna bakmalıyız ve ifademizi sadeleştirebildiğimiz kadar sadeleştirmeliyiz. Örneğin:
$12x^2-4x-8$ gibi bir ifadeyi $4(3x^2-x-2)$ olarak ifade edebiliriz. Daha sonra $a$ ve $c$'nin uygun çarpanlarını kullanarak
elimizdeki ifadedeyi çarpanlarına ayırmaya çalışacağız.

Örnek


$3x^2-x-2$ ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm





















1. Seçenek2. Seçenek3. Seçenek4. Seçenek
$(3x-2)(x+1)$$(3x+2)(x-1)$$(3x+1)(x-2)$$(3x-1)(x+2)$
$3x^2+x-2$$3x^2-x-2$$3x^2-5x-2$$3x^2+5x-2$

  • Giriş
  • Çözümlü Sorular I
  •