İkinci Derece İfadeler ve İşaret Tabloları
$ax^2 + bx + c$ şeklindeki bir ifadenin işaretini şu üç durum için inceleyeceğiz.
1. $\Delta \gt 0$
2. $\Delta=0$
3. $\Delta \lt 0$
* İlk durumda $\Delta \gt 0$ olduğundan ifade ya kolayca çarpanlarına ayrılır ya da
kökler formülünden kökler bulunabilir.[note1]Kökler formülü $x_{1,2}=\displaystyle\frac{- b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ idi}$[/note]
Asıl önemli olan iki farklı reel kök olmasıdır. Bu tip bir ikinci derece ifade kökler arasında $a$ ile ters işaretli ve köklerin dışında ise aynı işaretlidir. Daha karmaşık ifadelerde de kullanacağımız bir kural olarak en sağdan $a$ nın işareti ile başlanır ve köke rastlayınca işaret ters çevrilir.
Özetle $\Delta \gt 0$ ise $x_1\text{ ve } x_2$ olmak üzere iki farklı reel kök vardır ve işaret tablosu aşağıdaki biçimdedir.
* $\Delta=0$ durumunda iki kök çakışık idi, ifade bir tam kare idi ve parabolden hatırlayacağımız gibi grafik $x$ eksenine teğet idi. Bu durumda ifade kök dışında ya hep negatif ya da hep pozitif olacaktır. [note2] Çakışık kök, kök formülünde $\Delta=0$ konulursa, önceden de bildiğimiz gibi $ x_0 = \frac{-b}{2a} $ [/note]
* Üçüncü durum, $\Delta \lt 0$ durumu en basit ve bizi en az ilgilendiren durumdur. Bu durumda ifade tüm reel sayılar için $a$ nın işareti ile aynıdır. Eğer $a \gt 0$ ise ifade hep pozitiftir ve bu durumda standart hale getirilmiş bir eşitsizlik sorusunda bu ifade hemen atılır. $a \lt 0$ durumda ise ifade hep negatiftir ve standart hale getirilmiş bir soruda bu ifade atılır fakat eşitsizlik yön değiştirir. Parabolden hatırlarsak grafik $x$ ekseninin hep üstünde ($a \gt 0$ kollar yukarı) veya hep altında ($a \lt 0$ kollar aşağı) kalmaktadır. Dolayısıyla $y$ değerleri hep $+$ ya da hep $-$ dir. [note3]Standart hale getirilmiş soru ile kastedilen solda $x$ e bağlı ifadelerin çarpım ve bölümleri sağda ise $0$ olması durumudur. Örn $\displaystyle\frac{f(x)\cdot g(x)}{h(x)}\leq 0 $ [/note]
Örnek
\[ \frac{2^x (x^2+x+2)(x^2+x-2)}{(x-3)}\geq 0 \] eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Pozitif bir reel sayının her üssü pozitif olduğundan, çarpanlardan $2^x$, ayrıca $\Delta \lt 0$ ve $a \gt 0$ olduğundan $x^2+x+2$ ifadesi hep pozitiftir. Bu ifadeler atılabilirler. [note4] Hep pozitif olanların tüm ifadenin işareti üstünde bir etkileri yoktur. Geriye kalanlar negatif ise attıklarımızla çarpınca gene negatif, pozitif ise gene pozitif olacaktır. Bu durumda işaret geriye kalan çarpanlara bağlıdır[/note]
Geriye kalan ifadeyi çözeceğiz: \[ \frac{(x^2+x-2)}{(x-3)}\geq 0 \]
$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ olduğundan kökler $-2$ ve $1$ dir. $x-3$ için kök açıkça $3$ tür ve paydayı $0$ yaptığından çift çizgi ile göstereceğiz. Tabloda küçükten büyüğe yerleştirirsek:
Dikkat edilirse iki çarpanı ayrı satırlarda yazarak en alt satırda tüm ifadenin işaretini çıkarmadık. Tüm ifadenin işareti tek satırda çıkarılabilir. Bunun için her çarpanın en büyük dereceli teriminin($a$ sının) işareti birbiri ile çarpılır ve en sağdan bu işaretle başlanır. Köke rastlayınca işaret değiştirilir. Burada $a$ lar pozitif olduğundan sağdan $+$ ile başladık ve köke rastlayınca işaret değiştirdik.
Görüldüğü gibi ifadenin $\geq 0 $ olduğu aralıklar $[-2,1]$ ve $(3,+\infty)$ dir. [note5] $-2$ ve $1$ dahildir çünkü ifadenin $0$ olduğu yerler de istenmekte, ancak $3$ dahil değil çünkü ifadeyi tanımsız yapmakta.[/note]
Örnek
\[ \frac{(x^2-4x+4)(x^2-1)}{-x^2-1} \lt 0 \]
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
$x^2 - 4x + 4$ ifadesi kolay görünen bir tam karedir, $(x-2)^2$ ve kökü $2$ dir. $x=2$ dışında hep pozitif değerler üreteceğinden $x=2$ değerinin çözüm kümesinde olup olmadığını not ederek atabiliriz. $x=2$ ifadeyi $0$ yapmakta, istenmiyor. $x\neq 0$ notunu alarak attık. Bu notu almamızın sebebi, kalan ifadeleri çözdüğümüzde $2$ değeri çözüme giriyorsa atmak. Eğer eşitsizlik $\leq 0$ olsaydı, $x=2$ notunu alarak atacaktık. [note6] Büyük ihtimalle tam kare ifadeleri atmak yerine onları da tabloya almayı ancak \emph{çift kat kök} olarak işaretlemeyi öğrendiniz. Bunu bir sonraki örnekte kullanıyoruz.[/note]
$-x^2-1$ ifadesinin reel kökü yoktur. $a \lt 0$ olduğundan hep negatiftir. Atıp eşitsizliğin yönünü değiştiriyoruz. Elimizde kalan ifade
\[ (x^2-1) \lt 0 \text{ ve } x \neq 2 \]
Kökler $\pm 1$. Tabloda gösterirsek:
Çözüm kümesi $(-1,1)$ dir. $2$ zaten bu aralıkta olmadığından çıkarmaya gerek kalmadı.
Örnek
\[ \frac{(x^2+x)(-x^2+2x-1)}{(x-3)^5} \geq 0\] eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
Çözüm
Çarpanların köklerini bulalım:
\[ x^2+x=x(x+1) \quad x_1=0 \quad x_2=-1 \]
\[ -x^2+2x-1 = -(x-1)^2 \quad x_{1,2} = 1 \]
\[(x-3)^5 = 0 \quad x=3 \]
Tam kare ifadeyi de tabloya alacağız ancak bunun çift katlı bir kök olduğunu işaretleyerek bu köke geldiğimizde işaret değiştirmeden ilerleyeceğiz.
$(x-3)^5$ ifadesi ile $(x-3)$ ifadesi arasında fark yoktur. Üs tek ise atılır. Tablodan görüldüğü gibi çözüm kümesi: \[ (-\infty,-1] \cup [0,3) \]
Çift kat kök durumu sadece tam kare ifadelerde değil, üssün çift olduğu tüm durumlarda geçerlidir. Yukarıdaki örnekte $(x-3)^6$ olsayı $3$ bir çift kat kök olacaktı ve tabloda bu kökün her iki yanında aynı işareti görecektik.
Bunun yanında çarpanlardan biri payda biri paydada olabilir, bu durumda da çift kat kök vardır. Eğer bir kök çift sayıda çarpanın kökü ise çift kat köktür.
\[ (x^2-2x+1)(x^2-1) \]
ifadesinde $1$ çift kat kök değildir, çünkü sadece $x^2-2x+1$ in kökü olsaydı, bu ifade tam kare olduğundan çift kat kök olacaktı ancak yandaki ifadede de bir $(x-1)$ çarpanı vardır. Bu durumda üç tane $(x-1)$ çarpanı vardır.
\[ \frac{(x^2-4)(x-2)^{12}}{x^2-3x+2} \] ifadesinde $x=2$ çift kat köktür. $x^2-4$ için bir köktür. $(x-2)^{12}$ için üs çift olduğundan çift kat köktür ve alttaki ifadenin de bir kökü $2$ olduğundan çift kat köktür.
Örnek
\[ \frac{|x^2-4| (x^2-2x-3)}{-x^2+3x} \lt 0 \]
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Mutlak değerli ifade, kökleri dışında hep pozitif olacağından çift kat kökle aynıdır. Köklerini tabloya koyabilir ve çift kat kök gibi işlem yapabiliriz. Ancak köklerinin çözüm kümesinde olup olmadığına bakıp atmayı yeğleyeceğiz. Kökler $\pm 2$ dir ve tüm ifadeyi $0$ yapmaktadırlar. Eşitsizlik $ \lt 0$ olduğundan bu değerler çözüm kümesinde olamaz. $x\neq \pm 2$ yi not alarak atıyoruz.
\[ x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \quad x_1 = 3 \quad x_2 =-1 \]
\[ -x^2 + 3x = -(x^2-3x)=-x(x-3) \quad x_1 =0 \quad x_2 =3 \]
$x=3$ çift sayıda çarpanın kökü olduğundan çift kat köktür. Paydayı $0$ yapan değerler $0$ ve $3$ tür. Bunları işaretledikten sonra tüm en büyük dereceli terim işaretlerini çarparak sağdan başlıyoruz.
Çözüm kümesine $-2$ ve $2$ değerleri girdiğinden bu değerleri çıkarmalıyız. Çözüm kümesi
\[-\infty,-1) \cup (0,3) \cup (3,\infty) - \{-2,2\}\]
Örnek
\[ \frac{x^2-5x+4}{\sqrt{-x^2+9}} \geq 0\] eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Kareköklü ifadenin tanımlı olduğu aralığı bulmalıyız:
\[ -x^2 + 9 \geq 0 \Rightarrow x \in [-3,3] \]
Bu aralıkta tanımlıdır ancak sınır noktalar rasyonel ifadeyi tanımsız yaptığından bunları da atmalıyız. $(-3,3)$ aralığı için verilen kesir tanımlıdır, bu aralıkta kareköklü ifade hep pozitif olduğundan atabiliriz.
\[ x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \quad x_1 = 1 \quad x_2= 4\]
İkinci derece ifade kökler arasında $a$ ile ters, kökler dışında $a$ ile aynı olduğundan \[ x^2 -5x+4 \geq 0\] eşitsizliğinin çözümü
\[ (-\infty,1) \cup (4,\infty) \] Ancak bu çözüm kümesinin $(-3,3)$ aralığına düşen bölümünü almalıyız.
\[ (-3,1)\]
Örnek
\[
\frac{x-1}{x+1} \leq \frac{x+1}{x-1}
\]
Eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Basit bir soru, ancak içler dışlar çarpımı yapmamamız gerektiğini hatırlayalım.
\begin{align*}
\frac{x-1}{x+1} &\leq \frac{x+1}{x-1}\\
\frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1} &\leq 0 \\
\frac{(x-1)^2 - (x+1)^2}{(x+1)(x-1)} &\leq 0 \\
\frac{x^2-2x+1 - (x^2+2x+1)}{x^2-1} &\leq 0 \\
\frac{-4x}{x^2-1} &\leq 0
\end{align*}
Son elde ettiğimiz ifadede çarpanların kökleri $-1,0,1$ dir. Çift kat kök yok, paydayı $0$ yapan değerler $-1$ ve $+1$. Tüm en büyük dereceli terimler çarpımı negatif. Tabloda en sağdan negatif ile başlıyoruz.
Çözüm kümesi: $ (-1,0] \cup (1,\infty) $