Üslü, rasyonel, köklü veya mutlak değer içeren bazı ifadelerde dikkat edilmesi gereken bir kaç nokta var.

Örnek

$9^x-3^x-6=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

$3^{x}=t$ olarak düşünürsek denklem $t^{2}-t-6=0$'a dönüşür. Çarpanlarına ayırırsak \[ (t-3)(t+2)=0\] olur. Buradan $t=3$ ve $t=-2$ çıkar. $3^{x}=t$ olduğuna göre $3^{x}=3$ ve $3^{x}=-2$ olur. Bu denklemlerin ilkinden $x=1$ çıkar ancak $3^{x}=-2$ olamayacağı için bu eşitlik bir kök vermez. Dolayısıyla çözüm kümesi $\{3\}$'tür.

Örnek

$\sqrt{x}-2=x-8$ denkleminin kökler toplamı nedir?

Çözüm

Bu tip denklemlerde köklü ifadeyi yalnız bıraktıktan sonra iki tarafın karesi alınır.

\begin{align*}
\sqrt{x} &=x-6 \\
(\sqrt{x})^2 &= (x-6)^2 \\
x^{2}-13x+36 &=0 \\
\end{align*}

Buradan $x=9$ ve $x=4$ çıkar. Kökler toplamı $13$'tür demek yanlış oluyor. Çünkü bize verilen denklemde yerine koyduğumuzda $4$ denklemi sağlamıyor. Bunun teknik sebebi $\sqrt{x}=x-6 $ denkleminde yatıyor. Sol taraf yani $\sqrt{x}$ negatif olamayacağından sağ tarafın da negatif olmaması gerekir. Yani $x-6\ge0$ dır. Yani $x=4$ olamaz. Teorik çözüm uzun olduğundan bu tip köklü denklemlerde bulunan değerlerin ilk denklemde yerine yazılması daha pratiktir.

Bir tane de rasyonel çözelim:

Örnek

$\frac{x^{2}-6x+8}{x^{2}-4}=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Verilen ifadenin $0$ olması demek payının $0$ olması demektir. $x^{2}-6x+8=0$ ifadesini çözersek $x=2$ ve $x=4$ buluruz. Burada da dikkat etmemiz gereken şey bulduğumuz değerlerin paydayı
$0$ yapmamasıdır. Çünkü paydası $0$ olan rasyonel bir ifade tanımsızdır. $x=2$ paydayı $0$ yapıyor. Demek ki çözüm kümesi $\{4\}$'tür.

Bir de mutlak değer içeren ifade çözelim:

Örnek

$x|x-2|=24$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm

Bu denklemi $x(x-2)=24$ kabul edip çözersek $x=6$ ve $x=-4$ buluruz. Mutlak değer içeren ilk ifadeye $-4$'ü yazdığımızdaysa sağlamadığını görürüz. Burada da köklü ifadelerdeki gibi bulunan köklerin verilen denklemde yerine yazılması çoğu durumda pratiktir. Ancak klasik yollarla neden $-4$'ün denklemi sağlamadığını anlayalım. Verilen ifadeden iki denklem sistemi çıkar:
\[x\geq0 \text{ ise } |x-2|=x-2 \text{ olur ve denklem } x(x-2)=24\]
Bu denklemin kökleri 6 ve -4'tür. Ancak -4'ü alamayız çünkü bu denklem $x\geq0 $ için geçerlidir. Aynı şekilde

\[x\leq0 \text{ ise } |x-2|=-x+2 \text{ olur ve denklem } x(-x+2)=24\] Bu denklemi dağıtıp düzenlersek $\Delta<0$ dır. Dolayısıyla buradan reel bir kök çıkmaz.

Örnek


\[ (x^2 + x)^2 - 8 (x^2 + x) + 12 = 0 \] denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır?

Çözüm


$x^2 + x = t$ dönüşümü yaparsak denklem:
\[ t^2 - 8 t + 12 = (t-4)(t-2) = 0 \]
Buradan $ t = 4$ ve $t= 2$ çıkar. İlk $t$ değeri bize şu denklemi verir:
\[ x^2 + x = 4 \to x^2 + x - 4 = 0 \]
Bu denklemi çözmek zorunda değiliz köklerinin reel olup olmadığına bakmamız yeterli, deltasının 0 dan büyük olduğu görünüyor, bu denklemin kökler toplamı $ - \frac{b}{a} = -1 $

İkinci $t$ değeri
\[ x^2 + x = 2 \to x^2 + x - 2 = 0 \]
Bu denklemin de kökleri reel ve kökler toplamı $-1$. Buradan verilen denklemin reel kökleri toplamı $-2$ dir


Alıştırmalar


  • $2^{2x+1}-2^{x}-3=0$ ifadesinin çözüm kümesi nedir?

  • Köklerinden biri $-\sqrt{2}-1$ olan ikinci derece denklemi
    yazınız.

  • $x=1+\sqrt{5-x^{2}}$ denkleminin çözüm kümesi nedir?

  • $x|x|+3x-4=0$ denkleminin köklerini bulunuz.

  • $\frac{x^2-4x-5}{x^2-2x-3}=0$ denkleminin çözüm kümesi
    nedir?