Çözümlü Örnekler I
Örnek
$a_n= { n^2 +1 } $ ise $a_1 + a_2 + a_3$ toplamı nedir?
Çözüm
$a_1 = 1^2 +1 = 2$, $a_2 = 2^2+1 = 5$ ve $a_3 = 3^2 + 1 = 10$ olduğundan $a_1 + a_2 + a_3 = 17$
Örnek
$a_1 = -2$ ve $n \neq 1$ için $a_n = 2a_{n-1} + 3 $ ise $a_4$ nedir?
Çözüm
$n = 2$ için $a_2 = 2a_1 + 3 = -1 $
$ n = 3$ için $a_3 = 2 a_2 + 3 = 1$
$ n = 4$ için $a_4 = 2a_3 + 3 = 5$
Örnek
$a_1= 3$ ve $n \neq 0 $ için $a_n = a_{n-1} + n $ ise $a_{100}$ nedir?
Çözüm
Bu tip ardışık terimleri içeren genel terimlerde, terimler bir tarafa toplanırsa ilişki daha rahat görülür:
\begin{align*}
a_n - a_{n-1} &= n \\
n = 2 \to a_2 - a_1 &= 2 \\
n = 3 \to a_3 - a_2 &= 3 \\
\vdots &= \vdots \\
n = 100 \to a_{100} - a_{99} &= 100
\end{align*}
Eşitlikleri taraf tarafa toplarsak üsttekinin sol terimi bir alttakinin sağ terimini yok etmektedir:
\[ a_{100} - a_1 = 2 + 3 + \cdots 100 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 101 - 1 = 5049 \]
$a_1 = 3$ verildiğinden $a_{100} = 5052$ olur.
Örnek
$a_n = \frac{n+100}{n}$ dizisinin kaç terimi tamsayıdır?
Çözüm
Bu soru tipi aslında dizilerle değil sayılar ve polinom bölmesi ile ilgilidir. Payın derecesi paydaya eşit veya büyükse bölme yaparak ifadeyi parçalıyoruz:
\[ \frac{n+100}{n} = 1 + \frac{100}{n} \]
Parçalayınca hangi $n$ değerlerinin bu kesri tamsayı yapacağı daha rahat görünüyor. $100$ ü tam bölen $n$ değerleri yazabiliriz. Ayrıca dizilerde olduğumuzdan $n$ bir pozitif tamsayı, negatif bölenleri konu dışı. $100$ ün pozitif tam bölenler i $100 = 2^2 \cdot 5^2$ olarak asal çarpanlarına ayırıp asal çarpanların üslerinin bir fazlası birbiri ile çarpılarak bulunur. $3 \cdot 3 = 9$ olduğundan $9$ terim tamsayıdır.
Örnek
$a_n = \frac{n + 5}{n - 3}$ dizisinin kaç terimi tamsayıdır?
Çözüm
Gene bölme yaparsak:
\[ \frac{n-3}{n+1} = 1 + \frac{8}{n -3} \]
Burada da paydanın $8$ in bölenleri olması gerektiği görülüyor. $8$ in pozitif bölenleri $ 8 = 2^3$ olduğundan $4$ tanedir. Açıkça yazılabilecek kadar azlar: $1,2,4$ ve $8$. Payda bu değerleri alabilir ve bu değerlere uygun $n$ pozitif tamsayıları var. Ancak $n = 2$ ve $n =1$ de olabilir. Terimin değeri negatif olabilir, dizilerde sadece $n$ pozitif tamsayı olmak zorundadır. Dolayısıyla $6$ terim tamsayıdır.
Tamsayılıkları dışında terimlerin pozitif negatifliği de sorulabilir. Bu durumda da soru gene dizilerle ilgili değil basit veya ikinci derece eşitsizlikler bilgisi ile ilgilidir.
Örnek
$a_n = \frac{n-4}{n+1}$ dizisinin kaç terimi negatiftir?
Çözüm
Dizilerde olduğumuzdan $n$ pozitif tamsayı. Bu durumda payda hep pozitif. Terimin negatif olması için payın negatif olması gerekir. Pay $n=1,2,3$ değerleri için negatif olduğundan üç terim negatiftir. Aynı soru "kaç terim pozitif değildir" şeklinde sorulsaydı cevap $4$ olurdu. Çünkü $n=4$ için terim $0$ dır ve $0$ da pozitif olmayan terimler arasındadır.
Örnek
$a_n = \frac{n^2 - 4n + 3}{n + 1} $ dizisinin kaç terimi negatiftir?
Çözüm
Burada ikinci derece eşitsizlikler dışında bir bilgi gerekmiyor. Orada ifade $x$ li veriliyordu ve tüm reel sayılar için işaret inceliyorduk. Burada ise $n$ pozitif tamsayı olduğundan işaret tablosunun bir kısmı zaten atılıyor.
Çözeceğimiz eşitsizlik:
\[ \frac{n^2 - 4n + 3}{n + 1} \lt 0 \]
Üst taraftan iki kök geliyor: $n^2 - 4n + 3 = (n-1)(n-3) \to n_1 = 1, n_2= 3$ ve alt tarafın kökü $-1$, kökleri soldan sağa işaret tablosuna yerleştirirsek:
| $n$ | $-\infty$ | $-1$ | 1 | 3 | $+\infty$ | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\frac{n^2 - 4n + 3}{n + 1} \lt 0 $ | $-$ |
| $+$ |
| $-$ |
| $+$ | |||||||||||||||||||
Tablodan ifadenin negatif olduğu aralıklar görülmektedir. $n \in \mathbb{Z}^+$ olacağından $(1,3)$ aralığındaki $n$ leri alabiliriz. Tek çözüm $n=2$ dir ve sadece $a_2$ negatiftir.
Aynı soru kaç terimi $2$ den büyüktür ya da kaç terimi $8$ den küçüktür gibi sayı verilerek de sorulabilir:
Örnek
$a_n = \frac{n^2-5n-11}{n + 3}$ dizisinin kaç terimi $3$ ten küçüktür?
Çözüm
\begin{align*}
\frac{n^2-5n-11}{n + 3} &\lt 3 \\
\frac{n^2-5n-11}{n + 3} - 3 &\lt 0 \\
\frac{n^2-8n-20}{n + 3} &\lt 0 \\
\end{align*}
Payın kökleri $n^2 - 8n -20 = (n+2)(n-10) \to n_1=-2, n_2 = 10 $ ve paydanın tek kökü $n = -3$. İşaret tablosunu çizersek:
| $n$ | $-\infty$ | $-3$ | $-2$ | 10 | $+\infty$ | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\frac{n^2 - 8n - 20 }{n + 3} \lt 0 $ | $-$ |
| $+$ |
| $-$ |
| $+$ | |||||||||||||||||||
Gene dizilerde olduğumuzdan $n$ pozitif tamsayı olmalıdır. Tablodan da görüldüğü gibi $n = 1,2,3 \cdots 9$ değerleri için ifade negatiftir. $9$ terim $3$ ten küçüktür.
Bir dizinin kaç terimi belli bir reel sayı aralığındadır şeklinde sorular da gene eşitsizlikler bilgisi ile ilgili sorulardır. Önce komşuluk kavramını hatırlayalım: Bir $a$ sayısının $\delta$ komşuluğu $(a- \delta,a + \delta)$ reel sayı aralığıdır. Örneğin $2$ nin $\frac{1}{2}$ komşuluğu $(2 -\frac{1}{2},2 + \frac{1}{2}) = (\frac{3}{2},\frac{5}{2})$ açık aralığıdır.
Örnek
$a_n = \frac{4n+1}{2n-1}$ dizisinin kaç terimi $3$ ün $\frac{1}{2}$ komşuluğundadır?
Çözüm
$3$ ün $\frac{1}{2}$ komşuluğu $(\frac{5}{2},\frac{7}{2})$ reel sayı aralığıdır. Kaç terimin bu aralıkta olduğunu bulmak şu eşitsizliği çözmektir:
\[ \frac{5}{2} \lt \frac{4n+1}{2n-1} \lt \frac{7}{2} \]
Tarafları ayrı ayrı çözebiliriz:
\begin{align*}
\frac{5}{2} &\lt \frac{4n+1}{2n-1} & \quad \frac{4n+1}{2n-1} &\lt \frac{7}{2} \\
10n-5 &\lt 8n +2 & 8n +2 &\lt 14n - 7 \\
2n &\lt 7 & 9 &\lt 6n \\
n &\lt \frac{7}{2} & \frac{3}{2} &\lt n
\end{align*}
$\frac{3}{2} \lt n \lt \frac{7}{2}$ dir ve bu aralıktaki $n$ pozitif tamsayıları $2,3$ olduğundan $2$ terim verilen şartı sağlar.