Karmaşık sayılar kümesi, aslında bir düzlem olarak düşünülebilir. Bu düzlemde her bir nokta bir karmaşık sayıyı göstermektedir. Örneğin $2+3i$ karmaşık sayısına $(2,3)$ noktası olarak bakacağız. Yani reel kısmı kartezyen koordinatlarda $x$ ekseninde ve sanal kısmı da $y$ ekseninde göstereceğiz.

Bu düzlemde çalışırken iki şey önemli olacak. Bir karmaşık sayının orijine olan uzaklığı ve orijinle birleştirdiğimizde oluşan çizginin $x$ ekseni ile (reel eksenle) yaptığı açı:

Önce açı ve merkeze uzaklığın özel adlarını ve tanımlarını verelim.

Bir karmaşık sayının orijine uzaklığına o karmaşık sayının modülü denir ve $|z|$ ile gösterilir. Bir karmaşık sayının merkezden uzaklığı için bazen $r$ kullanmak kullanışlıdır.

Bir karmaşık sayıyı orijinle birleştirdiğimizde ortaya çıkan doğru parçasının reel eksenle pozitif yönde yaptığı açıya o karmaşık sayının argümanı denir ve $\text{Arg }(z)$ ile gösterilir.
Bir karmaşık sayının düzlemdeki yerini, $x$ ve $y$ koordinatları verildiğinde bulabileceğimiz gibi, argüman ve modül verilirse de bulabiliriz. Örneğin argümanı $\theta = 30^{\circ}$ ve modülü $r = 2$ br olan sayıyı karmaşık düzlemde gösterelim:
$x+iy$ şeklinde verilen bir karmaşık sayının kutupsal koordinatları için modülünü hesaplamalı ve açısını bilmeliyiz. Bu yüzden kutupsal biçimde karmaşık sayılar çoğunlukla $30-60-90$ ya da $45-45-90$ üçgenlerini içerir. Aşağıdaki örnek çok karşılaşacağımız bazı karmaşık sayıların kutupsal koordinatlarını, grafik çizerek bulmayı göstermektedir.


Örnek

Aşağıda verilen karmaşık sayılar için argüman $\theta$ ve modül $r$ yi bulunuz.

Çözüm


$z_1$ in merkeze uzaklığı $2\sqrt{2}$ br ve pozitif yönde yaptığı açı, şekilden görüldüğü gibi $315^{\circ}$ dir.






Taralı açı, koordinatlar eşit olduğundan $45^{\circ}$ dir. $z_2$ in merkeze uzaklığı $\sqrt{2}$ br ve pozitif yönde yaptığı açı, $225^{\circ}$ dir.






Taralı açının karşısı $3\sqrt{3}$ komşu kenarı $3$ br olduğundan, değeri $60^{\circ}$ dir. $z_3$ ün merkeze uzaklığı $6$ br ve pozitif yönde yaptığı açı, $60^{\circ}$ dir.







Taralı açının karşısı $2\sqrt{3}$ br ve komşu kenarı $2$ br olduğundan, değeri $60^{\circ}$ dir. $z_4$ ün merkeze uzaklığı $4$ br ve pozitif yönde yaptığı açı, $300^{\circ}$ dir.





$z_6$ yı merkezle birleştiren çizginin pozitif yönde yaptığı açı $0^{\circ}$ dir ve açıkça görüldüğü gibi merkeze uzaklığı $3$ br dir. Benzer şekilde, $z_5$ in $90^{\circ}$ ve $1$ br, $z_7$ nin $180^{\circ}$ ve $2$ br, $z_8$ in de $270^{\circ}$ ve $2$ br dir.





Şimdi bunun tersini düşünelim: Kutupsal koordinatları verilen bir karmaşık sayının kartezyen koordinatlarını bulmaya çalışalım. Yani verilen sayıyı $x+iy$ formatında yazmaya çalışalım.

Argümanı $\theta$ ve modülü $r$ olan bir karmaşık sayının kartezyen koordinatları için verilen açının trigonometrik oranlarını bilmemiz gerekmektedir.

Hipotenüs $r$ birim olduğundan $\theta$ nın karşı kenarı için $r\sin\theta$ ve komşu kenarı için de $r\cos\theta$ kullanmalıyız.
Verilenlere göre $x=r\cos\theta$ ve $y=r\sin\theta$ dır. Verilen karmaşık sayıyı $x+iy$ şeklinde yazarsak:
\[ z = r\cos\theta + i \cdot r \sin\theta = r(\cos\theta + i \sin\theta)\]

Son yazdığımız ifadeye \[z=r(\cos\theta + i \sin\theta)\] karmaşık sayının kutupsal biçimi denir. Kutupsal biçim, kutupsal koordinatlar cinsinden $x+iy$ şeklinde yazmaktır. $\cos\theta+i\sin\theta$ ifadesi çok kullanıldığından ve uzun olduğundan $\text{ cis }\theta$ şeklinde kısaltılmaktadır.

Örneğin, $\theta=30^{\circ}$ ve $|z|=10$ ise bu karmaşık sayının kutupsal biçimi \[ z= 10 \text{ cis } (30^{\circ}) \]
Kartezyen koordinatlara geçmek için $\cos\theta$ ve $\sin\theta$ değerlerini yerine yazmalıyız. \[ z = 10 (\cos30^{\circ}+i \sin30^{\circ})=10(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2})=5\sqrt{3}+5i\]