• ders
• video
• test

Bir karmaşık sayının köklerini hem kutupsal biçimde hem de $a+ib$ biçiminde iken öğreneceğiz. Önce kutupsal biçimle başlayalım.

Kutupsal Biçimde Kökler

\[ w_k = \sqrt[n]{r} \text{ cis } (\frac{ \theta + 2k\pi}{n}) \qquad k = 0,1,2 \cdots n-1 \]

Formül karışık görünse de aşağıdaki çözümlü örneklerde aslında kökleri bulmanın basitliği görülecektir. Formülü sözel anlatırsak bir karmaşık sayının $n.$ dereceden köklerini($n$ tanedirler) bulmak için modülün $n.$ dereceden kökü alınır. İlk kökün argümanı için verilen karmaşık sayının argümanı, kök derecesi $n$ e bölünür. Bundan sonraki köklerin argümanları için de $\frac{2\pi}{n}$ ekleriz. Örneğin:

Kutupsal biçimde kökler formülü ispatı

İspatı karekök ve küp kök için yapacağız.

Bir $z=r \text{ cis }\theta$ karmaşık sayısı verilmiş olsun. Bu sayının varsa kareköküne $w=r_w \text{ cis } \alpha$ diyelim. Bu sayı $z$ nin karekökü olduğundan karesi $z$ ye eşit olmalıdır:
\begin{align*}
w^2 &= z \\
(r_w \text{ cis } \alpha)^2 &= r \text{ cis } \theta \\
r_w^2 \text{ cis } (2 \alpha) &= r \text{ cis } \theta \\
r_w^2 = r & \text{ ve } \text{ cis } 2\alpha = \text{ cis } \theta\\
\end{align*}

$(r_w \text{ cis } \alpha)^2=r_w^2 \text{ cis } (2 \alpha) $ yazarken kutupsal biçimde üs almada yazdığımız kuralı kullandık. Son eşitliklerden birincisinden $r_w= \pm \sqrt{r}$ çıkar ancak modül her zaman pozitif olduğundan $r_w= \sqrt{r}$ dır.
İkinci eşitlik trigonometrik bir denklem ve $\text{ cis }$ kosinüs ve sinüs değerlerini içerdiğinden bu iki açının $\cos$ ve $\sin$ değerleri aynı olmalıdır. Bu durumda ya iki açı aynıdır ya da biri diğerine $360^{\circ}$ ekleyip çıkarılarak bulunabilir (esas ölçülerinin aynı olması yeterlidir).
\begin{align*}
2 \alpha &= \theta + 2k\pi \\
\alpha &= \frac{ \theta + 2k\pi}{2} \\
\end{align*}
Burada $k=0$ ve $k=1$ iki ayrı açı üretir.
\[ w_0 = \sqrt{r} \text{ cis } \frac{\theta}{2} \qquad w_1= \sqrt{r} \text{ cis } \frac{\theta+2\pi}{2} \]
$k=2$ koymak anlamsızdır bu durumda açı $\theta + 2\pi$ olacağından bulacağımız sayı $w_0$ a eşit olur, dolayısıyla iki farklı kök vardır.

Benzer şekilde $z$ nin küpkökleri için de elimizde şu eşitlik vardır:

\begin{align*}
w^3 &= z \\
(r_w \text{ cis } \alpha)^3 &= r \text{ cis } \theta \\
r_w^3 \text{ cis } (3 \alpha) &= r \text{ cis } \theta \\
r_w^3 = r & \text{ ve }\text{ cis } 3\alpha = \text{ cis } \theta\\
\end{align*}

Buradan $r_w= \sqrt[3]{r}$ ve şu trigonometrik denklem çıkar:
\begin{align*}
3 \alpha &= \theta + 2k\pi \\
\alpha &= \frac{ \theta + 2k\pi}{3} \\
\end{align*}

$k=0,1$ ve $2$ farklı sayılar üretir bundan sonraki değerler gene aynı sayılara döner.

\[ w_0 = \sqrt[3]{r} \text{ cis } \frac{\theta}{3} \qquad w_1= \sqrt[3]{r} \text{ cis } \frac{\theta+2\pi}{3} \qquad w_2= \sqrt[3]{r} \text{ cis } \frac{\theta+4\pi}{3} \]

Kartezyen Biçimde Karekök Bulunuşu

$z=a+ib$ şeklinde verilen bir sayının karekökleri için aşağıda çıkarılan üç eşitlik kullanılabilir:

Verilen karmaşık sayının karekökü $w = x+iy$ olsun, bu durumda
\begin{align*}
w^2 &= z\\
(x+iy)^2 &= a+ib\\
x^2-y^2 + 2xyi &= a+ib
\end{align*}

Buradan iki eşitlik çıkmaktadır:
\begin{align*}
x^2-y^2 &= a \\
2xy &= b
\end{align*}

Bunların yanında üçüncü eşitliği bulmak için modülden gelen aşağıdaki eşitliği kullanacağız:
\begin{align*} |w^2| &= |z|\\ |w|^2 &= |z| \\ x^2 + y^2 &= \sqrt{a^2 + b^2}\\
\end{align*}

Toparlarsak kullanacağımız üç eşitlik:
\begin{align*}
x^2-y^2 &= a \\
2xy &= b \\
x^2 + y^2 &= |z|\\
\end{align*}