Bağıntı Tanımı
İki kümenin kartezyen çarpımının, tüm sıralı ikililerin kümesi olduğunu gördük. Bu kümenin herhangi bir alt kümesi bağıntıdır. Yani kartezyen çarpım kümesinden keyfi ikililer seçip bir küme oluşturursak bu küme bir bağıntı olur.
$A$ ve $B$ gibi iki kümenin kartezyen çarpımı $s(A)\cdot s(B)$ tane ikili içeriyordu. Bağıntı da bu kümenin herhangi bir alt kümesi olduğundan toplam bağıntı sayısı $2^{s(A)\cdot s(B)}$ olur.
Örneğin $A=\{1,2,3\}$ ve $B=\{a,b\}$ olsun.
\[ A\times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Buradan alacağımız ikililerle oluşturacağımız her altküme, $A$ dan $B$ ye bir bağıntıdır. Bağıntılar genellikle $\beta$ harfi ile gösterilir.
\begin{align*}
\beta_1 &= \{ \}\\
\beta_2 &= \{(1,a),(2,b)\}\\
\beta_3 &= \{(1,a),(3,a),(3,b)\}
\end{align*}
$A\times B$ nin eleman sayısı $6$ olduğuna göre altküme sayısı $2^6=64$ tür. Bağıntıları Venn şeması ile de gösterebiliriz. Örneğin yukarıdaki $\beta_2$ ve $\beta_3$ bağıntıları şu şekilde gösterilebilir:
Bir $A$ kümesinden kendisine yapılan eşlemeler için, yani $A\times A$ nın altkümeleri için $A$ da bir bağıntıdır, denebilir.
Bir Bağıntının Tersi
Bir bağıntının tersi, tüm ikililerde ikililerin yerleri değiştirilerek bulunur. Bağıntının içerdiği tüm $(a,b)$ ikilileri $(b,a)$ ikililerine dönüşür. Dolayısıyla bağıntının kalkış ve varış kümeleri de yer değiştirmiş olur. $A$ dan $B$ ye bir $\beta$ bağıntısı $A\times B$ nin altkümesi iken, bu bağıntının tersi $B$ den $A$ yadır, $B\times A$ nın altkümesidir ve $\beta^{-1}$ ile gösterilir.
$A=\{1,2,3\}$ ve $B=\{a,b\}$ olsun.
\[ \beta = \{ (1,a),(1,b),(3,b)\} \text{ ise } \beta^{-1}=\{(a,1),(b,1),(b,3)\}\]
$x$ ve $y$ eksenlerinin yer değiştirdiğine dikkat edelim. Bu durumda eksenler eşit birimlere ayrılmışsa $y=x$ doğrusuna göre bir simetri sözkonusu oluyor. Buna en çok bir kümeden kendisine yazılan bir bağıntıda rastlıyoruz, çünkü bu durumda eksenlerdeki elemanlar aynı oluyor. Örneğin:
\[ A=\{1,2,3\} \text{ ve } \beta=\{(1,1),(1,2),(1,3),(3,2)\} \text{ olsun }\]
Bu durumda bağıntının tersi
\[ \beta^{-1}= \{(1,1),(2,1),(3,1),(2,3)\} \]
Bağıntı Özellikleri: Yansıma, Simetri, Ters Simetri ve Geçişkenlik
* Yansıma
$A$ da tanımlı bir $\beta$ bağıntısı eğer $A$ nın her elemanını kendisi ile eşliyorsa yansıma bağıntısıdır. Yani her $a\in A$ için $(a,a) \in \beta$ ise bağıntının yansıma özelliği vardır.
Örneğin $A=\{a,b,c\}$ ise $A$ da tanımlı, yani $A\times A$ nın altkümesi olan bir bağıntının yansıyan olması için, mutlaka $(a,a),(b,b)$ ve $(c,c)$ sıralı ikililerini içermesi gerekir.
Peki bu özelliği sağlayan, yani yansıyan kaç bağıntı yazılabilir? $A\times A$ nın eleman sayısı $9$, yansıyan bağıntılara mutlaka yukarıda sayılan $3$ tane sıralı ikiliyi koymalıyız. Yani sepete kesin giriyorlar. Dolayısıyla kalan $6$ tane sıralı ikili ile kaç farklı sepet ya da altküme oluşturabiliriz ona bakmalıyız. Bu da $2^6$ dır. Bu nedenle, $n$ elemanlı bir kümede tanımlı yansıyan bağıntı sayısı $2^{n^2-n}$ dir.
* Simetri
$A$ da tanımlı bir bağıntıda, bağıntıdaki her $(a,b)$ için $(b,a)$ da bağıntının elemanı ise bu bağıntı simetriktir. Yani bağıntının içindeki her ikilinin tersi de bağıntıda bulunmalı. Bir tanesinin bile tersi yoksa simetri özelliği yoktur.
\[ \beta=\{(1,a),(2,b),(3,b),(a,1),(b,2)\} \]
Yukarıdaki bağıntıda $(3,b)$ nin tersi olmadığı için simetri özelliği yoktur.
\[\beta=\{ (1,1) \}\]
Yukarıdaki bağıntı simetriktir. Çünkü $(1,1)$ in tersi kendisidir. Simetri tanımında her $(a,b)$ ikilisi derken $a\neq b$ şartı olmadığına dikkat edelim. Bir kümeden kendisine yazılabilecek simetrik bağıntı sayısı $2^{n^2+n}$ ile bulunabilir. Formülü anlamak için somut bir küme düşünelim, $A=\{a,b,c\}$ olsun.
\[ A\times A = \{ (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)\} \]
Toplam $9$ tane ikilimiz var. Simetrik olması için $(a,b)$ yi bağıntıya aldığımız an $(b,a)$ da bağıntıya otomatik olarak girecek. Yani her ikili tersi ile bağlı. Yalnız bir sorun var, $(a,a),(b,b)$ ve $(c,c)$ nin tersleri yok. En estetik çözüm bunların tersleri de kartezyen çarpımdaymış gibi düşünmek olabilir. Bu durumda $12$ tane ikili olur ve biri girdiğinde tersi de otomatik gireceğinden bağımsız olarak seçebileceğimiz $6$ eleman var, yani $2^6$ altküme oluşturabiliriz.
$n$ elemanlı bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımında, toplam sıralı ikili sayısı $n^2$ dir. $n$ tane ikili $(a,a)$ şeklindedir. Bunların tersleri de kartezyen çarpımda varmış gibi düşünürsek $n^2+n$ tane ikili var. Simetri şartı için birini alırsak eşi de giriyor. Dolayısıyla $\frac{n^2+n}{2}$ tane bağımsız eleman var.
* Ters Simetri
$A$ da tanımlı bir bağıntıda $(a,b)$ ve $(b,a)$ bağıntı da ise $a=b$ olmalıdır. Yani $a\neq b$ iken $(a,b)$ varsa tersi $(b,a)$ bağıntıda olmamalıdır. Farklı elemanları birbirine bağlayan sıralı ikililerden hiçbirinin tersi olmayacak. Birinin bile tersi varsa, bağıntı ters simetrik değildir.
\[ \beta=\{(a,b),(a,c),(b,a)\} \]
Yukarıdaki bağıntı ters simetrik değildir, çünkü $(a,b)$ nin tersi var, aynı şekilde simetrik de değildir, çünkü $(a,c)$ nin tersi yok. Bir bağıntı ne simetrik ne ters simetrik olmayabilir. Simetrik olmayan ters simetriktir gibi bir sonuç çıkarmak yanlış olur.
Tanımın $(a,a)$ gibi ikililerin bağıntıda olmasına izin verdiğine dikkat edelim. Örneğin $\beta=\{(a,a),(b,b)\}$ bağıntısı hem simetrik hem de ters simetriktir.
* Geçişme
Geçişme özelliği için, $A$ kümesinde tanımlı bir bağıntı $(a,b)$ ve $(b,c)$ ikililerini içeriyorsa, $(a,c)$ ikilisi de o bağıntının elemanı olmalıdır.
\begin{align*}
\beta_1 &= \{ (a,b),(b,c),(a,c)\}\\
\beta_2 &= \{ (a,b),(a,c)\}
\end{align*}
İlk bağıntı tam da tanımın istediğini yapıyor. Yani $(a,b)$ ve $(b,c)$ ikilileri gördüğümüz an geçişme olabilmesi için $(a,c)$ yi arıyoruz. Ancak ikinci bağıntı da geçişkendir. Çünkü geçişme özelliğinin tanımına uyuyor. Tanım $(a,b)$ ve $(b,c)$ türü ikililer bağıntıda olacak demiyor. Bunlar varsa $(a,c)$ de olacak diyor. Dolayısıyla böyle bir durum yoksa, yani bir ikilinin ikinci elemanı ile başlayan başka bir sıralı ikili yoksa bağıntı zaten geçişkendir.