%Test: Sayılar Test VII
\begin{questions}
\question
$64$ sayısının $a$ tabanında yazılışı $224$
olduğuna göre, $a$ kaçtır?
begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $5$
\choice $6$
\choice $7$
\choice $8$
\choice $9$
\end{oneparchoices
[solution]
\begin{align*}
224_a&=a^0\cdot 4+a^1\cdot 2+a^2\cdot 2\\
&=2a^2+2a+4
\end{align*}
\begin{align*}
2a^2+2a+4&=64\\
a^2+a+2&=32\\
a^2+a&=30\\
a&=5
\end{align*}
[/solution]
\question
$5$ tabanındaki $343$ sayısının $4$ fazlası
aşağıdakilerden hangisidir?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $402$
\choice $412$
\choice $413$
\choice $422$
\choice $432$
\end{oneparchoices}
[solution]
Burada normal onluk düzende toplar gibi toplayacağız, tek fark
onluk düzende $10$'u aşınca elde var diyorduk, burada
$5$'i aşınca elde olacak.
Önce sondaki $3$ ile $4$'ü topluyoruz, $7$ eder,
$5$'i aştı, $7-5=2$ buluyoruz, $2$'yi sona yazıyoruz, elde var $1$
$4$ ile $1$'i topluyoruz, $5$ etti, $5-5=0$ ,$0$'ı yazıyoruz,
elde yine $1$ var,
$3$ ile $1$'i topluyoruz, $4$ etti.
Sonuç $402$
[/solution]
\question
$24_a+35_a=62_a$
eşitliğini sağlayan $a$ tabanı nedir?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $7$
\choice $8$
\choice $9$
\choice $10$
\choice $11$
\end{oneparchoices}
[solution]
Soru çok basit, $5+4-a=2$ olmalı, çünkü kalan $2$'yi sağa
yazmışız. Cevap $7$
[/solution]
\question
Beşlik sayı düzenindeki rakamları birbirinden farklı,
en büyük üç basamaklı sayının, dörtlük düzendeki
karşılığı nedir?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $1311$
\choice $2011$
\choice $1312$
\choice $2012$
\choice $2111$
\end{oneparchoices}
[solution]
Beşlik düzendeki rakamları birbirinden farklı en büyük
üç basamaklı sayı $432_5$'dir.
Önce bunu onluk düzene çevirelim.
\begin{align*}
432_5&=2+5\cdot 3+5^2\cdot 4\\
&=2+15+100\\
&=117
\end{align*}
$4$'lük düzende basamaklar $1$'ler, $4$'ler, $16$'lar,
$64$'ler, $256$'lar diye gider.
$117$'de kaç tane $64$ var, $1$ tane
$117-64=53$.
Şimdi kalanda kaç tane $16$ var buna bakacağız.
$53=3\cdot 16+5$ , $3$ tane varmış.
kalan ise $5$,
$5$'te de kaç tane $4$ var,
$5=1\cdot 4+1$, $1$ tane var.
Geriye de birler basamağına gelecek $1$ kaldı.
Şimdi sayımızı yazabiliriz.
Sondan başlayarak, sağdan sola yazabilirsiniz.
Cevap $1311$
[/solution]
\question
Aşağıdakilerden kaçı $10$'luk düzende çift sayıdır?
I. $(110)_2 \quad$ II. $(321)_5 \quad$
III. $(1111)_3 \quad$ IV. $(430)_7$
V. $(234)_7$
\begin{oneparchoices}
\choice $1$
\choice $2$
\CorrectChoice $3$
\choice $4$
\choice $5$
\end{oneparchoices}
[solution]
$(110)_2=0+2\cdot 1+2^2\cdot 1=6$ çift,
$(321)_5=1+5\cdot 2+25 \cdot 3=86$ çift,
$(1111)_3=1+3+9+27=40$ çift,
$(430)_7=0+7\cdot 3+49 \cdot 4=217$ tek,
$(234)_7=4+7\cdot 3+ 49 \cdot 2=113$ tek.
$3$ tanesi onluk düzende çiftmiş.
[/solution]
\question
$(24)_a=(42)_b$ eşitliğini sağlayan
$a$ ve $b$ doğal sayıları için,
$a+b$'nin en küçük değeri kaçtır?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $14$
\choice $15$
\choice $16$
\choice $17$
\choice $18$
\end{oneparchoices}
[solution]
Sayıları onluk düzene çevirelim.
$(24)_a=2a+4$ ve $(42)_b=4b+2$ 'dir.
\begin{align*}
2a+4&=4b+2\\
a+2=2b+1
\end{align*}
$b$ $4$'ten büyük olmak zorunda,
çünkü taban rakamların değerinden büyük olmalıdır.
$b=5$ seçersek, $a+2=11 \rightarrow a=9$ olur.
$a+b=9+5=14$
[/solution]
\question
$a>3$ olmak üzere,
$3a^3+a$ sayısının $a$ tabanında yazılışı
nedir?
\begin{oneparchoices}
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $3010$
\choice $310$
\choice $3001$
\choice $3100$
\choice $3310$
\end{oneparchoices}
[solution]
$a$ tabanındaki bir sayının basamakları,
$1$'ler basamağı, $a$'lar basamağı, $a^2$'ler basamağı,
$a^3$'ler basamağı diye gider.
$3a^3+a$'da en büyük basamak olarak $a^3$ var.
$3$ tane $a^3$ var demek ki $a^3$ basamağı $3$.
$3$ en başa gelecek,
$a^2$, yok, $0$ tane olduğu için $0$ gelecek,
$a$ $1$ tane var, $1$ gelecek,
$1$'ler basamağı da hiç sabit terim olmadığı için $0$ olacak.
Sayımız $a$ tabanında $3010$
[/solution]
\question
$(112)_4 \leq A \leq (63)_7$ eşitliğini
sağlayan kaç tane $A$ tamsayısı vardır.
\begin{oneparchoices}
\choice $21$
\choice $22$
\choice $23$
\CorrectChoice $24$
\choice $25$
\end{oneparchoices}
[solution]
$(112)_4=2+4\cdot 1+16\cdot 1=22$
$(63)_7=3+7\cdot 6=45$
$22 \leq A \leq 45$
$45-22+1=24$ tane $A$ tamsayısı vardır.
[/solution]
\question
$(341)_5 : (22)_5=(x)_5$ ise,
$x$ aşağıdakilerden hangisidir?
\begin{oneparchoices}
\choice $22$
\choice $21$
\CorrectChoice $13$
\choice $12$
\choice $11$
\end{oneparchoices}
[solution]
$(341)_5=1+5\cdot 4 +\25\cdot 3=96$
$(22)_5=2+5\cdot 2=12$
$96:12=8$
$8$'in beş tabanında yazılışı,
$8$'in içinde $1$ tane $5$ var,
$8-5=3$
cevap $13$
[/solution]
\question
$x=(124)_5$, $y=(212)_6$, $z=(322)_4$
sayıları arasındaki hangi sıralama doğrudur?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $x
[solution]
$x=(124)_5=4+5\cdot 2+25\cdot 1=39$,
$y=(212)_6=2+6\cdot 2+ 36\cdot 2=86$,
$z=(322)_4=2+4\cdot 2+16\cdot 3=58$
$x
\question
$6$ tabanında yazılabilen
iki basamaklı kaç sayı vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $26$
\choice $27$
\choice $28$
\choice $29$
\CorrectChoice $30$
\end{oneparchoices}
[solution]
$6$ tabanındaki en büyük rakam $5$'tir.
Birler basamağına gelebilecek rakamlar,
$6$'tanedir, $0,1,2,3,4,5$
$6$'lar basamağına ise $5$ sayı, $1,2,3,4,5$ gelebilir.
$5\cdot 6=30$ tane iki basamaklı sayı vardır.
[/solution]
\question
$(ab)_9=5a+3b$
Bu koşula uyan en büyük $(ab)_9$ sayısının,
$6$ tabanına göre yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
\begin{oneparchoices}
\CorrectChoice $212$
\choice $301$
\choice $1021$
\choice $204$
\choice $214$
\end{oneparchoices}
[solution]
$(ab)_9=b+9\cdot a=9a+b$
\begin{align*}
9a+b&=5a+3b\\
9a-5a&=3b-b\\
4a&=2b\\
2a&=b
\end{align*}
$b$ $9$ tabanındaki en büyük rakam olan$8$ olabilir,
$a$'da bu durumda $4$ olur.
$(48)_9=8+9\cdot 8=80$
$80$'i $6$ tabanına çevirelim.
$36$'lar basamağında $80:36=2$, $2$ var.
kalan $8$'de $8:6=1$, $1$ var.
kalan $2$'yi desona yazacağız.
Cevap $212$
[/solution]
\question
$(234)_5$ sayısının $3$ katı aynı tabanda
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\begin{oneparchoices}
\choice $1022$
\choice $1101$
\choice $1212$
\choice $1302$
\CorrectChoice $1312$
\end{oneparchoices}
[solution]
Çarpım yaparken aynen onluk düzende çarpım yapar
gibi yapacağız, sadece tek fark elde kaç olduğunu bulmak için
kaç tane $5$ olduğuna bakacağız, kalan da basamağa yazılacak.
Sondan başlayalım,
$3\cdot 4=12$, $12=2\cdot 5+2$, $12$'de $2$ tane $5$ var,
yani elde $2$ var, kalan da $2$ ,$2$'yi birler basamağına yazıyoruz.
$3\cdot 3=11$, elde $2$ vardı, $9+2=11$, $11=2\cdot 5+1$,
$11$'de $2$ tane beş var, yani elde yine $2$ var, kalan $1$, $1$'i
ikinci basamağa yazıyoruz.
$3\cdot 2=6$, $6+2=8$ $8=5\cdot 1+3$, elde var $1$, kalan $3$, kalan $3$'ü
üçüncü basamağa yazıyoruz, başka çarpacak sayı kalmadığı için, son elde kalan
$1$'i de dördüncü basamağa yazıyoruz.
Sayımız, $1312$
[/solution]
\question
$(53)_6-(24)_6$ sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
\begin{oneparchoices}
\choice $(24)_6$
\CorrectChoice $(25)_6$
\choice $(33)_6$
\choice $(34)_6$
\choice $(35)_6$
\end{oneparchoices}
[solution]
Çıkarmada da çıkarılan sayı eğer yeterli değilse, yan
taraftan tabanın değeri kadar alıyoruz.
Onluk düzende nasıl ki $10$ alıyorsak,
burada da altılık düzende yandan $6$ alacağız.
$3$'ten $4$ çıkmaz, yandan $6$ alırız, $3+6-4=5$ olur.
İlk basamağımız $5$.
$5$'ten $1$ almıştık, $4$ oldu.
$4-2=2$ , $2$ de ikinci basamağımız oldu.
Cevap $(25)_6$
[/solution]
\question
$(23)_4 \cdot (13)_4=(x)_4$ olduğuna göre,
$x$ nedir?
\begin{oneparchoices}
\choice $1301$
\choice $1013$
\choice $1310$
\choice $1103$
\CorrectChoice $1031$
\end{oneparchoices}
[solution]
$3\cdot 3=9$ , $9=4\cdot 2+1$ , elde $2$ var, kalan $1$ ilk basamak oldu.
$3\cdot 2=6$, elde $2$ vardı, $6+2=8$, $8=4\cdot 2+0$, elde $2$ var
kalan $0$ , $0$ ikinci basamak oldu.
Elde kalan $2$ son basamağımız oldu. $201$ ilk kısım.
ikinci bölüme geçelim.
$1 \cdot 3=3$ ,
$1\cdot 2=2$, $3$'te dört yok direkt basamak oldu. ikinci kısım
$32$ oldu, şimdi bunları kaydırıp toplayacağız. Toplarken de yine eldeyi hesaplarken
kaç tane $4$ var ona bakacağız,
\begin{align*}
2&3\\
\underline{x \qquad 1&3}\\
20&1\\
\underline{+ \qquad 23&}
1031
\end{align*}
Toplarken $1$ alta geçti, ilk basamak oldu.
$0+3=3$ bu da ikinci basamak oldu.
$2+2=4$ , $4$'te bir tane $4$ var elde $1$ var, kalan $0$ basamak oldu.
Son elde kalan $1$ de son basamak oldu,
Sayımız $1031$
[/solution]
\question
$(17a)_8$ sayısı $3$ ile tam bölünebilen bir sayı ise
$a$'nın yerine kaç farklı rakam yazılabilir?
\begin{oneparchoices}
\choice $2$
\CorrectChoice $3$
\choice $4$
\choice $5$
\choice $6$
\end{oneparchoices}
[solution]
Sayıyı onluk düzene çevirelim,
$(17a)_8=a+7\cdot 8+64 \cdot 1=120+a$
$120$ , $3$'e tam bölünüyor,
$120+a$'nın $3$'e bölünebilmesi için,
$a=0$,
$a=3$,
$a=6$ olabilir.
$9$ olamaz çünkü tabanımız $8$.
$3$ rakama gelebilir.
[/solution]
\question
$6$'lık düzende verilen aşağıdaki ardışık sayıları
izleyen sayı nedir?
$154,155$
\begin{oneparchoices}
\choice $243$
\choice $244$
\choice $1200$
\choice $1100$
\CorrectChoice $200$
\end{oneparchoices}
[solution]
$155$'ten sonra gelen sayı, $1$ fazlasıdır.
bu sayıyı $1$'le topladığımızda, sondaki $5$, $6$
olamaz, $0$ olur, elde $1$ olur, o da aynı şekilde
yandaki $5$'le toplanınca yine $0$ olur, elde kalan
$1$'de en soldaki $1$'le toplanır.
cevap $200$
[/solution]
\question
$a \geq 1$ ve $a$ bir rakamdır.
$(4a)_x+(a3)_x=39+a$
eşitliğini sağlayan kaç tane $x$ sayısı vardır?
\begin{oneparchoices}
\choice $5$
\choice $4$
\choice $3$
\choice $2$
\CorrectChoice $1$
\end{oneparchoices}
[solution]
ifadeleri onluk düzene çevirelim
$(4a)_x=a+4x$
$(a3)_x=3+ax$
\begin{align}
(4a)_x+(a3)_x&=39+a\\
a+4x+3+ax=39+a\\
4x+ax&=39+a-a-3\\
4x+ax&=36\\
x(4+a)&=36
\end{align}
Bildiklerimiz, $a \geq 1$ ve
bir de $a$ $x$'e eşit veya ondan büyük olamaz,
çünkü $x$ taban olarak kullanılmış.
$a=1$ olsa, $36$ $5$'e tam bölünemediği için
olamaz.
$a=2$ olsa $x=6$ olur.
$a=3$ olsa, $x$ yine tam sayı olmuyor.
$a=4$ olsa, $x$ yine tam sayı olmuyor.
$a=5$ olsa, $x=4$ oluyor, ama $a
oluyor.
Koşulları sağlayan tek bir $x$ sayısı var.
[/solution]
\question
$a$ pozitif bir tamsayı ve $a+1$ taban olmak üzere,
$(aa)_(a+1)$ saysının $2$ fazlası aynı tabanda kaç olur?
\begin{oneparchoices}
\choice $100$
\CorrectChoice $101$
\choice $110$
\choice $120$
\choice $200$
\end{oneparchoices}
[solution]
$a$ yerine herhangi bir sayı koyalım.
$a=2$ desek.
sayımız $(22)_3$ olur. $2$ eklediğimizde.
En sağdaki basamakla toplayalım $2+2=4$, sondaki basamak $4-3=1$ oldu,
elde de bir var, diğer $2$'yle toplayalım, $2+1=3$, $3-3=0$, ikinci basamak
$0$ oldu, elde de $1$ var, onu da en başa yazacağız.
$101$
[/solution]
\question
$(4a)_(a+3)$ sayısı en fazla $8$ tabanında
yazılabildiğine göre $a$ kaç farklı değer alır?
\begin{oneparchoices}
\choice $7$
\choice $6$
\choice $5$
\CorrectChoice $4$
\choice $3$
\end{oneparchoices}
[solution]
$a+3\ leq =8$'miş, taban en fazla $8$ deniliyor çünkü.
$a=5$ olabilir. Taban $8$ olur.
$a=4$ olabilir. Taban $7$ olur.
$a=3$ olabilir. Taban $6$ olur.
$a=2$ olabilir. Taban $5$ olur.
$a=1$ olamaz çünkü taban $4$ olur.
Sayıda $4$ rakamı var, taban ondan büyük olmalı.
$a$, $4$ farklı değer alabilir.
[/solution]
\end{questions}