• ders
• video
• test

Çarpanlara Ayırma Temel Kavramlar

Çarpanlara ayırma, parantez içindeki ifadelerin birbiriyle çarpılarak genişletilme işleminin tam tersidir.


Örneğin
$3(x+2)$ ifadesi $3x+6$ olarak da yazılabilir, çarpanlara ayırma $3x+6$ ifadesinden $3(x+2)$ ifadesine ulaşmalıdır.


Bu iki ifade özdeştir, $x$'in her değeri için aynı değere sahiptir.

Ortak Çarpanlar

Ortak çarpanlara ayırma, bütün ifadelerde ortak olarak bulunan çarpanlara dayanır.

Örneğin:

$2x-8x^2$ ortak çarpanlarına şöyle ayrılır.
\begin{align*}
2x-8x^2=2x(1-4x)
\end{align*}


İşaret değiştirerek çarpanlara ayırma

İki kare farkı



$(ax+b)(ax-b)=a^2x^2-b^2$ olduğunu biliyoruz.

Demek ki

$a^2x^2-b^2$ ifadesi $(ax+b)(ax-b)$
olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Aynı şekilde



$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Örnek:

$x^2-9$ ifadesi $x^2-3^2$ olarak da ifade edilebilir, ifade iki kare farkıdır.

$x^2-y^2$ gibi ifadeleri hemen $(x-y)(x+y)$ biçiminde çarpanlarına ayırabiliriz.



Bir ifadenin İki kare farkı olması için

• iki terimden oluşması


• iki terimin ters işaretli, birinin pozitif diğerinin negatif olması


• ikisinin de tam kare olması

gerekir. Örneğin: $b^2-1, \quad 49-16, \quad 4x^2-9, \quad -36+c^2 $ gibi.

Aşağıdaki alıştırmaları yapınız...

İkili gruplara ayırarak çarpanlara ayırma

Ortak çarpanları bulma çarpanlara ayırmanın başlangıç noktasıdır. $4x+4$ gibi bir ifadenin çarpanlarının $4(x+1)$ olduğunu görmüştük, aynı şekilde $6x^2+6x$ gibi bir ifadenin de çarpanları 6x(x+1) 'dir. Ama şöyle bir ifademiz varsa




$3x^2+3x+5x+5$



ilk bakışta bütün terimlerin ortak bir çarpanı olmadığını görürüz. Bu tür ifadeleri şu şekilde çarpanlarına ayırırız:



$(3x^2+3x)+(5x+5)=3x(x+1)+5(x+1)$



görüldüğü gibi $(x+1)$ ortak bir çarpan, şimdi de ifadeyi şöyle yazabiliriz.



$(x+1)(3x+5)$

Aşağıdaki alıştırmaları kendiniz yapmaya çalışın, cevapları görmek için cevabı göstere tıklayabilirsiniz...

İkinci dereceden denklemler ve çarpanlara ayırma

$x^2+8x+15$ gibi bir ifade $1.$ dereceden iki terimin birbiriyle çarpılmış halidir.
$x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$
Bu çarpanları kolayca bulmak için önce biraz cevabını direkt verdiğimiz soruyu inceleyelim.

$(x+3)(x+5)=x^2+5x+3x+15$ çarpımında da görüldüğü gibi bu iki birinci dereceden ifadenin çarpımı sırasında

$x$'li terimlerin çarpımı ikinci dereceden ifadenin $x^2$'li terimi oluşturuyor $x \cdot x =x^2$,

$x$'li terimlerin sabit terimlerle çarpımlarının toplamı da ikinci dereceden ifademizdeki orta terimi oluşturuyor $5x+3x=8x$,

sabit terimlerin birbiriyle çarpımı ise 2. derece ifademizin sabit terimini oluşturuyor $3 \cdot 5=15$ .

Yani bizim yapmamız gereken, 2. dereceden ifademizin sabit teriminin uygun iki çarpanını bularak, $x$'li terimlerle çarpımlarının toplamıyla ortadaki terime ulaşabiliyor muyuz ona bakmak.
15'in çarpanları ve x'ler birbiriyle hangi çarpımları oluşturabilir bir tabloyla gösterelim.
\begin{align*}
& \underline{x \hspace{0.5cm} } \qquad & \underline{x \hspace{0.7cm} } \\ \\
&15 \qquad & 1 \\
-&15 \qquad & -1 \\
&5 \qquad & 3 \\
-&5 \qquad & -3 \\
\end{align*}
Şimdi çarpım seçeneklerine bakalım,

1. Seçenek	2. Seçenek	3. Seçenek	4. Seçenek
$(x+1)(x+15)$	$(x-1)(x-15)$	$(x+5)(x+3)$	$(x-5)(x-3)$

Şimdi de bütün seçeneklerin açık halini yazalım ve hangi ikilinin doğru sonucu verdiğine bakalım.

1. Seçenek	2. Seçenek	3. Seçenek	4. Seçenek
$(x+1)(x+15)$	$(x-1)(x-15)$	$(x+5)(x+3)$	$(x-5)(x-3)$
$x^2+16x+15$	$x^2-15x+15$	$x^2+8x+15$	$x^2-8x+15$

3. Seçeneğin doğru olduğunu görüyoruz. Genel olarak çarpanlara ayırma için uygun çarpanları bulmak gerekir, daha çok örnek yaparak hızlıca uygun çarpanları görme yetisi geliştirilebilir. İleride çözümlü sorular yapacağız.

3 Terimli Bir İfadenin Çarpanlarına Ayrılmasında izlenecek yola bakalım.
$ax^2+bx+c$ gibi bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için:
1. Adım:
Önce a, b, c sabitlerinin ortak bir çarpanı var mı buna bakmalıyız ve ifademizi sadeleştirebildiğimiz kadar sadeleştirmeliyiz. Örneğin:
$12x^2-4x-8$ gibi bir ifadeyi $4(3x^2-x-2)$ olarak ifade edebiliriz. Daha sonra $a$ ve $c$'nin uygun çarpanlarını kullanarak
elimizdeki ifadedeyi çarpanlarına ayırmaya çalışacağız.