• ders
• video
• test

Dizi tanımı

Örneğin şöyle bir sayı sırası $ 1,2,3,4,5$ bir dizidir. Bu listedeki her bir sayı dizinin elemanı ya da terimidir . Dizileri adlandırırken genellikle $a,b,c$ gibi küçük harfler kullanılır. Yukarıdaki dizinin adı $a$ ise birinci terim $a_1$, ikinci terim $a_2$ ve herhangi bir $n.$ terim de $a_n $ sembolü ile gösterilir. Dikkat edersek diziye küme demedik ve liste gibi gayet gevşek bir kavram kullandık. Bunun nedeni öncelikle kümenin elemanlarının sıralı olmaması ancak dizininkilerin sıralı olmasıdır.
$ \{ 1,2,3,4,5 \}$ ile $\{ 2,1,3,4,5 \} $ kümeleri aynıdır. Diziye sıralı bir kümedir de demedik. Çünkü bir dizide elemanlar tekrar edebilir. Hatta dizi aynı elemandan da oluşmuş olabilir:
\[ 1,1,1,1 \qquad 1,2,1,2 \]
Yukarıdaki iki liste de bir dizidir. Dizide sıra önemli olduğundan bu sırayı sağlayan bir kural ya da kurallar kümesi de olmalıdır. Genellikle dizilerin tüm terimlerinin değeri değil, bir veya birkaç terim ve diğer terimleri bulmak için gereken kural verilir ya da kural zaten verilen birkaç terimden sezilir. Örneğin şu iki dizide kural çok açık:
\[ 1,1,1, \cdots 1 \quad 2,4,6,\cdots \]

Dizi örnekleri

Daha sonra ayrıntılı göreceğimiz aritmetik dizi lerde her terim kendinden önceki terime belli bir fark eklenerek bulunur: $3,7,11,15, \cdots $ dizisi aritmetik bir dizidir. Gene ayrıntılı göreceğimiz geometrik dizi de her terim kendinden önceki terimin belli bir çarpan la çarpılmasıyla bulunur. $2,6,18,\cdots $ dizisi çarpanın $3$ olduğu geometrik bir dizidir. $-1,2,-3,4,-5,6 \cdots $ dizisinde kural çok bellidir ancak bu kuralın matematiksel ifadesini bulmayı biraz ilerde yapacağız. Gene ünlü bir dizi fibonacci dizisidir. Bu dizide ilk iki terim $1$ ve bundan sonraki terimler kendinden önceki iki terimin toplamıdır. $1,1,2,3,5,8,13,21 \cdots $

Dizi bir fonksiyondur

Görüldüğü gibi verdiğimiz örneklerde dizi elemanlarına bir sınırlama getirmedik. Bir dizi sonlu sayıda elemana sahip olabileceği gibi sonsuz sayıda elemana da sahip olabilir. Bunları tanımlamadan önce diziyi bir fonksiyon olarak düşünmeye başlayalım. Matematikte dizi elemanlarının sırasının belli bir kural ile verildiği listelerle ilgileneceğimizden diziyi bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Terim sayısını girdi ve terimin değerini de çıktı olarak düşünürsek dizi pozitif tamsayılardan terimlerin değerlerine bir fonksiyon olarak düşünülebilir. $a_2$ gibi bir terimde girdi $2$ ve çıktı da $a_2$ teriminin kendisidir. Böylece sıralama görevini de pozitif tamsayılara yaptırmış oluyoruz. Örneğin $3,5,7,9$ dizisini $\{ 1,2,3,4 \}$ kümesinden $\{ 3,5,7,9\} $ kümesine $f(1) = 3$, $f(2) = 5$ vs... şeklinde bir fonksiyon olarak düşünebiliriz. Ancak $f(1)$ yerine dizilere özel bir şekilde $a_1$ kullanıyoruz.

Genel terim

Dizi terimlerini tek tek yazmamak ve dizinin kuralını da matematik olarak ifade edebilmek için dizinin herhangi bir $n.$ teriminin ifadesi yazılır. Bu ifadeye dizinin genel terimi denir. Genel terimi verilen terimlerden biz bulmadan önce verilen genel terimden terimler bulmaya çalışalım. $a_n = 2n$ ifadesinde $n$ yerine pozitif tamsayılar kümesinden bir sayı yazarak dizinin istediğimiz terimine erişebiliriz. İfade çok açıkça çift sayıları verir.
$a_1 = 2$, $a_2 = 4$, vs...
$a_n = (-1)^n \cdot n $ dizisinin terimlerine bakalım.
$a_1=-1$, $a_2 = (-1)^2 \cdot 2 = 2$ ve $a_3 = -3$
$a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2^n$ dizisinin terimleri: $a_1= 2$, $a_2 = -4$, $a_3 = -8$, $a_4 = -16$

Artık $-1,2,-3,4 \cdots $ dizisinin de genel terimini yazabiliriz. Her terimde işaret değişirse $-1^{n}$ ya da duruma göre $-1^{n+1}$ gibi bir çarpan kullanılır.
\[ a_n = -1^{n} \cdot n \]

$2,-6,18,-54 \cdots $ dizisi için de bir genel terim düşünelim. İşaret önce $+$ sonra $-$ olduğundan $-1^{n+1}$ yapabiliriz. Böylece $n=1$ için $+1$ olur. Dizinin terimleri bir öncekinin $3$ katı olduğundan birinci terimi $n-1$ kere $3$ le çarpmalıyız.
\[ a_n = (-1)^{n+1} \cdot 2 \cdot 3^{n-1} \]

Yinelemeli Formül

Bazen $n.$ terimin ifadesi $a_n$ sadece $n$ e bağlı verilmez. Kendinden önceki terim veya terimlere bağlı olarak verilir. Bu tip bir genel terim formülüne yinelemeli formül diyeceğiz. Örneğin $a_n = a_{n-1} + 2$ formülünü düşünelim. Burada $n-1$ inci terime $2$ ekleyince $n$ inci terimi buluyoruz. Böyle bir dizide terimleri bulabilmek için dizinin herhangi bir teriminin de verilmiş olması gerekir. Burada $a_1 = 5$ verilmiş olsun. Bu durumda:
\[ a_n = a_{n-1} + 2 \to a_2 = a_1 + 2 \to a_2 = 7 \]

$a_n = n a_{n-1}$ ve $a_1 = 1 $ verilsin. $a_2 = 2 a_1 = 2$ ve $a_3 = 3 a_2 = 6$ ve $a_4 = 4 a_3 = 24$.
Hem $a_n = a_{n-1} + 2, \quad a_1 = 5 $ hem de $a_n = na_{n-1}, \quad a_1 = 1$ için sadece $n$ e bağlı bir formül görebildiniz mi?. Birinci dizi için $a_n = 5 + (n-1) 2 $, ikinci dizi ise sadece $a_n = n!$.

Dizi çeşitleri

Artan, azalan,sabit gibi kavramlar fonksiyonlarda olduğu gibi dizilerde de önemlidir. Bunlarla ilgili bir kaç tanım verip ilgili örneklere bakalım.

$\forall n \in \mathbb{N} $ olmak üzere genel terimi $ a_n $ olan bir dizi için

Bazen $a_{n+1} - a_n$ farkını kullanmak elverişli değildir. Bu durumlar genellikle $n$ nin üs olduğu veya faktöriyel içeren genel terimlerde ortaya çıkar. Eğer dizi artansa $a_{n+1} \gt a_n$ olacağından $\frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1$ ve azalan ise $\frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1$ olacaktır. Yazılanlar eğer dizi terimleri hep pozitif ise doğrudur. Örneğin $-2$, $-3$ ten büyüktür ancak $\frac{-2}{-3} \lt 1 $ olur.