• ders
• video
• test

Mantık konusu, doğru ya da yanlış kabul ettiğimiz öncüller arası ilişkileri, bunlardan yapabileceğimiz çıkarımların ve akıl yürütmelerin ilkelerini ortaya koymaya çalışır. Konu doğruluk değeri verebileceğimiz, kesin yanlış ya da kesin doğru kabul ettiğimiz yargılarla başlar. Bu yargılara önerme denir. Yanlış (0) ya da doğru (1) şeklinde bir doğruluk değerine sahip tüm yargılara
önerme denir.

Örneğin yarın yağmur yağacak yargısı bir önerme değildir. Yarın yağmur yağıp yağmayacağını bilemeyeceğimizden bu yargının söylendiği an kesin bir doğruluk değeri yoktur ve önerme değildir. Ancak kuşlar satranç bilir ya da $y=x$ doğrusal bir fonksiyondur yargıları bir önermedirler.

Bağlaçlar ve bileşik önerme

Doğruluk değeri belli iki önerme, adına bağlaç dediğimiz operatörler yardımıyla bağlanabilir ve ortaya bileşik bir önerme çıkar. Bağlaçlardan ilk ikisi ve ve veya bağlaçlarıdır ve sırasıyla $\wedge$ ve $\vee$ sembolleriyle gösterilirler. Örneğin İngilizce ve Fransızca biliyorum önermesi ve bağlacıyla bağlanmış iki önermenin bileşimidir:
İngilizce biliyorum ve Fransızca biliyorum
Günlük dildeki anlamında da ve bağlacıyla bağladığımız bileşik bir yargının doğru olabilmesi için iki önermenin de doğru olması gerekir. Biri bile yanlışsa önerme yanlıştır. Yukarıdaki önermenin doğruluğu için bunu söyleyenin hem Fransızca hem de İngilizceyi biliyor olması gerekir.
Diğer bağlaç veya nın günlük dildeki anlamı biraz daha muğlaktır. Örneğin İngilizce veya Fransızca bilen biri dendiğinde ya İngilizce ya Fransızca gibi anlaşılabilir. Ancak mantıkta iki önerme veya ile bağlandığında birinin doğru olması tüm bileşik önermenin doğruluğu için yeterlidir. Dolayısıyla ikisinin de doğru olduğu durumda da bileşik önerme doğrudur. Yani bir insan hem İngilizce hem de Fransızca biliyorsa İngilizce veya Fransızca bilenler' kümesine dahildir.
Toparlarsak $p$ ve $q$ gibi iki önerme $\wedge$ (ve) bağlacıyla bağlanırsa bileşik önermenin doğruluğu için ikisinin de doğru olması, bu iki önerme $\vee$ (veya) bağlacıyla bağlanırsa bileşik önermenin doğru olması için birinin doğru olması yeterlidir, bu durumda $\vee$ bağlacıyla oluşturulan bir bileşik önermenin yanlış olması için iki önermenin de yanlış olması gerekir. Bir doğruluk tablosu ile tüm ihtimallerin dökümünü ve bileşik önermenin doğruluk değerini gösterebiliriz:

$p$	$q$	$p \wedge q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$0$

Yukarıdaki tabloda $p$ ve $q$ önermelerinin olası doğruluk değerleri ve $\wedge$ ile bağlandıklarında oluşacak bileşik önermenin doğruluk değeri görülmektedir. İki önerme $4$ farklı durumda bulunabilir. Satırlar bunu belirtmektedir. 1. satırda ikisi de doğru, ikincide $p$ doğru $q$ yanlış vs.. Görüldüğü gibi bileşik önerme sadece ikisinin de doğru olduğu durumda doğrudur.

$p$	$q$	$p \vee q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$0$

Yukarıda $\vee$ bağlacıyla bağlanan iki önermenin ve bileşik önermenin dökümü yapılmıştır. Görüldüğü gibi bileşik önerme ancak iki önerme de yanlışsa yanlıştır.

Değilleme,Olumsuz ya da Negasyon

Değilleme bir önermenin doğruluk değerini tersine çeviren bir operasyondur. Önerme doğru ise değili yanlış ve önerme yanlış ise değili doğrudur. Bir $p$ önermesinin değili ya da olumsuzu $p'$ ile gösterilir ve o önermenin bir bakıma tamamlayıcısıdır. Onu doğruluğa tamamlar bununla kastedilen bir önerme ile değili $\vee$ ile işleme girdiğinde oluşan bileşik önermenin hep doğru olduğudur. Başka bir yere daha gelmiş olduk. Bir önerme ya da bileşik önerme hep doğru ise bir totolojidir . Totolojiye örnek olarak evliler bekar değildir önermesini verebiliriz. Aslında bu önermenin en saf hali bir şeyin kendisi ile özdeşliğidir yani A, A'dır' dersek doğru birşey söylemiş ancak işe yarar hiç bir şey söylememiş oluyoruz. Çünkü evli olmanın tanımından bekar olmamak kendiliğinden çıkmaktadır.
Bir önermenin olumsuzunu tekrar olumsuzlarsak ilk önermenin doğruluk değerlerine ulaşacağımız açıktır. Değilleme işlemi doğruluk değerlerini ters çevirdiğinden iki kere ters çevirdiğimizde başladığımız yere döneriz. Şu özdeşliği yazabiliriz \[ (p')' = p \] Bunları bir tablo ile gösterirsek

$p$	$p'$	$(p')'$
$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$

ise ($\Rightarrow$ ) ve ancak ve ancak ($\Leftrightarrow$)

ise operatörü günlük dile çevrildiğinde kafa karışıklığı yaratmaktadır. Bu yüzden önce doğruluk tablosuna bakalım

$p$	$q$	$p \Rightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$0$	$0$	$1$

Bileşik önerme ancak birinci doğru ikinci yanlışken yanlıştır. Buna örnek olarak birbiri ile ilgisiz önermeler, örneğin "Dünya tepsi şeklinde ise ben kalın kafalıyım" verildiğinde ise bağlacı anlamını kaybetmektedir. Örnekte iki önerme de yanlıştır (kalın kafalı değilim) doğruluk tablosuna baktığımızda $0 \Rightarrow 0$ ın doğruluk değeri $1$ dir o zaman söylenen şey doğrudur gibi saçma sapan bir anlam çıkmaktadır.
Ancak mantık ya da matematikte bu bağlaç soldaki varsayımdan sağdakine ulaşabilir miyiz onu belirtmektedir. Daha mantıklı bir örnek verirsek
Bir doğal sayı $6$ ile tam bölünebilirse $2$ ile de tam bölünebilir.
Burada ilk önermeye hipotez ya da varsayım denir. İkinci ya da sağ taraf bizim ispatlamamız gereken yargı dır. Eğer bu bileşik önerme doğru ise verili olan ilk koşula ya da hipoteze yeter koşul denir. Örnekte eğer bileşik önerme doğru ise (doğru!) $6$ ile bölünebilmek $2$ ile bölünebilmek için yeter koşuldur. Sonuçta vardığımız yargı da hipotezde söylenen için gerek koşul dur. Yani bir sayının $2$ ile bölünebilmesi $10$ ile bölünebilmesi için gerek koşuldur.
Doğruluk tablosunu yukarıdaki önerme ile somutlaştıralım. Örneğin ilk satır yani $p=1$ ve $q=1$ için bileşik önerme
Bir doğal sayı $6$ ile tam bölünebilirse $2$ ile de tam bölünebilir.
Bu önerme doğrudur bölünebilme konusundan bildiğimiz gibi $6$ ile bölünebilmek için hem $2$ hem de $3$ ile bölünebilmek gerekmektedir.
İkinci satırda $p=1$ ve $q=0$ dır. Bileşik önerme şuna dönüşür
Bir sayı $6$ ile tam bölünebilir ise $2$ ile tam bölünemez
Bildiğimiz gibi bu kesinlikle yanlıştır.
Üçüncü satır $p=0$ ve $q=1$. Bileşik önerme
Bir sayı $6$ ile tam bölünemez ise $2$ ile tam bölünebilir
Bildiğimiz gibi bu önerme de doğrudur. Bir sayı $6$ ile bölünemese de $2$ ile tam bölünebilir.
Üçüncü satır $p=0$ ve $q=0$. Bileşik önerme
Bir sayı $6$ ile tam bölünemez ise $2$ ile tam bölünemez
Bu da doğrudur. $6$ ile tam bölünemeyen sayılar $2$ ile de tam bölünemeyebilir.
Burada önemli bir nokta ise bağlacının soldan sağa çıkarım yapmaya yaramasıdır. İse bağlacı tek yönlüdür yani Bir sayı $6$ ile bölünebilir ise $2$ ile tam bölünebilir önermesinin tersi doğru değildir:
Bir sayı $2$ ile bölünebilirse $6$ ile bölünebilir çıkarımını yapamayız. $6$ ile bölünebilmek $2$ ile bölünebilmek için yeter koşuldur ancak $2$ ile bölünebilmek $6$ ile bölünebilmek için yetmez. $2$ ile bölünebilmek de $6$ ile bölünebilmek için gerek koşuldur.
Eğer hem soldan sağa hem de sağdan sola geçebiliyorsak yani hem $p \Rightarrow q$ hem de $q \Rightarrow p$ doğru ise bunu ancak ve ancak bağlacıyla gösteriyoruz ve doğruluk tablosu aşağıdaki gibi oluyor.

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$0$	$0$	$1$

Eğer $p \Leftrightarrow q$ doğru ise bu iki önerme denktir ya da biri diğeri için hem gerek hem de yeter koşuldur.