Örnek
$ p \Rightarrow q \Leftrightarrow p' \vee q$ özdeşliğini bir doğruluk tablosu ile gösteriniz.
Çözüm
$p \Rightarrow q$ nun doğruluk tablosunu zaten biliyoruz, ancak birinci doğru ve ikinci yanlışken yanlıştı. Doğruluk tablosuna bir $p'$ sütunu, $ p' \vee q$ sütunu ve bir de $p\Rightarrow q$ sütunu koyalım
| $p$ | $q$ | $p'$ | $p' \vee q$ | $p \Rightarrow q $ |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
Bu özdeşliği sadeleştirme sorularında kullanacağız. Vurgularsak $\Rightarrow$ yerine istersek birincinin değili veya ikinci şeklinde bir bileşik önerme koyabiliriz.
Temel Özellikler
Bu özellikler bir doğruluk tablosu yardımıyla basitçe ispatlanabilir.
- Değişme özelliği:
\begin{align*}
p \vee q &\Leftrightarrow q \vee p \\
p \wedge q &\Leftrightarrow q \wedge p \\
\end{align*} - Birleşme özelliği:
\begin{align*}
p \vee (q \vee r ) &\Leftrightarrow (p \vee q) \vee r \\
p \wedge (q \wedge r ) &\Leftrightarrow (p \wedge q) \wedge r \\
\end{align*} - Dağılma özelliği:
\begin{align*}
p \vee (q \wedge r ) &\Leftrightarrow (p \vee q) \wedge (p \vee r) \\
p \wedge (q \vee r ) &\Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r) \\
\end{align*} - Değiller:
\begin{align*}
(p')' &\Leftrightarrow p \\
(p\vee q)' &\Leftrightarrow p' \wedge q'\\
(p \wedge q)' &\Leftrightarrow p' \vee q'\\
\end{align*}
Örnek
Verilen önermelerin totoloji olduğunu gösteriniz:
- $(p \wedge q) \Rightarrow p $
- $p \Rightarrow (p \vee q) $
- $p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$
Çözüm
- $(p \wedge q) \Rightarrow p $
- $p \Rightarrow (p \vee q) $
- $p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$
Doğruluk tablosuna $(p \wedge q)$ sütununu koyalım. $\Rightarrow$ bağlacının tanımına göre, $(p \wedge q) \Rightarrow p $ önermesi sadece $(p \wedge q)$ doğru ve $p$ yanlışken yanlıştır, tablodan görüldüğü gibi böyle bir durum oluşmamaktadır.
| $p$ | $q$ | $p \wedge q$ | $(p \wedge q) \Rightarrow p $ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $p$ | $q$ | $p \vee q$ | $ p \Rightarrow (p \vee q) $ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $ p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |