Örnek


$a$ ve $b$ birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, $a+b$ 'nin alabileceği en büyük ve en küçük değer nedir?

Çözüm


$a+b$'nin alabileceği en büyük değeri bulabilmek için $a$ ve $b$ için en büyük iki rakamı seçmeliyiz. Onluk sistemde rakamlar $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 $ dur. En büyük iki rakam olarak $a=9$ ve $b=8$ alırsak $a+b=17$ olur.

$a+b$'nin alabileceği en küçük değeri bulabilmek için $a$ ve $b$ için en küçük iki rakamı seçmeliyiz.
$a=0$ ve $b=1$ seçersek $a+b=1$ olur.


Örnek


$a$ ve $b$ birbirinden farklı ve 5'lik sayı düzeninde rakamlar olmak üzere, $a+b$'nin alabileceği en büyük ve en küçük değer nedir?

Çözüm


$a+b$'nin alabileceği en büyük değeri bulabilmek için $a$ ve $b$ için en büyük iki rakamı seçmeliyiz. Beşlik sayı düzeninde rakamlar $0,1,2,3,4$'tür. En büyük iki rakam olarak $a=4$ ve $b=1$ alırsak $a+b=5$ olur.

$a+b$'nin alabileceği en küçük değeri bulabilmek için $a$ ve $b$ için en küçük iki rakamı seçmeliyiz.
$a=0$ ve $b=1$ seçersek $a+b=1$ olur.

Örnek


$2^n\cdot 4^{n+2}=32^8$ olduğuna göre, $n$'in değeri nedir?

Çözüm

\begin{align*}
2^n\cdot 4^{n+2}&=2^n\cdot 2^{2\cdot(n+2)} \\
&=2^n\cdot 2^{2n+4}\\
&=2^{3n+4} \\
\end{align*}

yukarıda üslü sayılardaki temel kuralları kullanarak, tüm ifadeleri $2$ tabanına indirgedik.

\begin{align*}
2^{3n+4}&=32^8 \\
&=2^{5 \cdot 8} \\
2^{3n+4}&=2^{40}\\
\end{align*}

Tabanları aynı olan bu eşitlikteki ifadelerin üsleri de birbirine eşittir.

\begin{align*}
3n+4&=40 \\
3n&=40-4 \\
n&=12
\end{align*}

Örnek


$16^6 \cdot 25^{12}$ ifadesinin sondan kaç basamağı $0$'dır?

Çözüm


\[ 16^6 \cdot 25^{12}=2^{4\cdot 6} \cdot 5^{2\cdot 12}=2^{24} \cdot 5^{24}= (2\cdot 5)^{24}=10^{24} \]
$10^{24}= 1\underbrace{00...0}_\text{24 tane} $
Sayının sondan $24$ rakamı $0$'dır.

Örnek


$n\in \mathbb{E}$ ve $3^n=x$ ise $3^{3n+2}$ sayısını $x$ cinsinden ifade ediniz.

Çözüm


\begin{align*}
3^{3n+2}&=3^{3n} \cdot 3^2 \\
&= (3^n)^3 \cdot 3^2\\
& \\
x&=3^n\\
x^3&=(3^n)^3\\
\end{align*}
Bu durumda $3^{3n+2}=(3^n)^3 \cdot 3^2=x^3 \cdot 3^2=9x^3 $ olur

Örnek


$a$ ve $b$ pozitif doğal sayılardır. $a\cdot 48=b^4$ eşitliği veriliyor, $a+b$'nin en küçük değerini bulunuz.

Çözüm


\begin{align*}
a\cdot48&=b^4 \\
a\cdot 3\cdot 16&=b^4 \\
a\cdot 3\cdot 2^4&=b^4 \\
a&= \frac {b^4}{3\cdot 2^4} \\
1\cdot a&= \frac {b^4}{3\cdot 2^4} \\
1&=\frac {b^4}{3\cdot 2^4\cdot a}
\end{align*}
$\displaystyle \frac {b^4}{3\cdot 2^4 \cdot a}=1$ olabilmesi için $a$'nın alabileceği en küçük değer $3^3$'tür.
\begin{align*}
\frac {b^4}{3^1 \cdot 3^3 \cdot 2^4} &=1 \\
\frac {b^4}{3^4 \cdot 2^4} &=1 \\
\frac {b^4}{ (3\cdot 2)^4} &=1 \\
\frac {b^4}{ 6^4} &=1 \\
b^4 &=6^4 \\
b&=6
\end{align*}
Bu durumda $a+b=27+6=33$ olur

Örnek


$x$'in $5$ ile bölümünden kalan $2$ ve $y$'nin $5$ ile bölümünden kalan $4$'tür.
$x+y$'nin $5$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm


$x+y$'nin $5$ ile bölümünden kalan $2+4=6$, $6$ sayısı $5$'ten büyük olduğu için $6$'yı da $5$'e bölüp kalanı bulmalıyız, $6$'nın $5$ ile bölümünden kalan $1$'dir, dolayısıyla $x+y$'nin $5$ ile bölümünden kalan $1$'dir.
Başka şekilde çözmemiz gerekirse
$ x=5a+2, \quad y=5b+4 $
$ x+y= 5a+5b+6$ ve $x+y=5(a+b+1)+1$ olur, ifade $5$ bölündüğünde kalan $1$ olur.

Örnek


$xy$ ve $yx$ iki basamaklı doğal sayılardır.
$xy+yx=121$ olduğuna göre $x\cdot y$'nin alabileceği en büyük değer nedir?

Çözüm


\[ xy+yx=10x+y+10y+x=11x+11y=11(x+y)=121 \Rightarrow x+y=11 \]
$x+y=11$ ise $x$ ve $y$'nin alabilecekleri değerler ve çarpımları aşağıdaki gibidir.
\begin{align*}
x&=2 & y&=9 \rightarrow \; x\cdot y=18 \\
x&=3 & y&=8 \rightarrow \; x\cdot y=24 \\
x&=4 & y&=7 \rightarrow \; x\cdot y=28 \\
x&=5 & y&=6 \rightarrow \; x\cdot y=30 \\
\end{align*}
daha sonraki değerler için $x\cdot y$ değişmez, aynı sonuçlara ulaşırız.
$x\cdot y$'nin alabileceği en büyük değer $30$'dur.

Örnek


$abc$ ve $bca$ ve $cab$ üç basamaklı sayılardır.
$abc+bca+cab=2664$ ise $a$, $b$ ve $c$ rakamlarını bulunuz.

Çözüm


\begin{align*}
abc+bca+cab&=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b) \\
&=111a+111b+111c=111(a+b+c)=2664 \\
a+b+c&= \frac{2664}{111}=24
\end{align*}

Örnek


$ab$ iki basamaklı bir sayıdır.
$ab=4(a+b)$ olduğuna göre $ab$'nin alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm


\begin{align*}
ab=10a+b&=4(a+b) \\
&=4a+4b \\
10a+b&=4a+4b \\
10a-4a&=4b-b \\
6a&=3b \\
2a&=b
\end{align*}
Bu durumda
\begin{align*}
a&=1 \Rightarrow b=2 ; ab=12 \\
a&=2 \Rightarrow b=4 ; ab=24 \\
a&=3 \Rightarrow b=6 ; ab=36 \\
a&=4 \Rightarrow b=8 ; ab=48 \\
\end{align*}

Örnek


$24\cdot 5^9\cdot 32$ sayısının sondan kaç basamağı $0$'dır

Çözüm


\begin{align*}
24\cdot 5^9\cdot 32&=2^3\cdot 3\cdot 5^9 \cdot 2^5 \\
&=2^8\cdot 5^9 \cdot 3 \\
&=2^8\cdot 5^8 \cdot 5 \cdot 3 \\
&= 15 \cdot 10^8
\end{align*}
Bu durumda sayımızın sondan $8$ basamağı $0$'dır.

Örnek


$A$ sayısı üç basamaklı bir sayıdır. $A$ sayısının onlar basamağı $2$ artırılır, birler basamağı $5$ azaltılır ve yüzler basamağı $3$ artırılırsa sayının değeri nasıl değişir?

Çözüm


$A$ sayısı
\[ 2\cdot 10-5\cdot 1+ 3\cdot 100=315 \] artar.