Örnek
$y = x^3-4x^2 - 4$ ise $\frac{dy}{dx}$=?
Çözüm
$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 -8x $
Örnek
$y = \sqrt{x}$ ise $y''(x) = ?$
Çözüm
\[ y = x^{\frac{1}{2}} \to \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \]
\[ y'' = \frac{-1}{4} x^{-\frac{3}{2}} \]
Örnek
$y = \frac{1}{x}, y = \frac{x}{2}$ fonksiyonları için $\frac{dy}{dx} = ?$
Çözüm
\[ y = \frac{1}{x} = x^{-1} \to y' = - x^{-2} \]
\[ y = \frac{x}{2} \to y' = \frac{1}{2} \]
Örnek
$ y = \sqrt{3t-t^3}$ $\frac{dy}{dt}$
Çözüm
\[ y = \sqrt{3t-t^3} = (3t - t^3)^{\frac{1}{2}} \to y' = \frac{1}{2} (3t - t^3)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3-3t^2) \]
Örnek
$y = (x-1)(x+1)$ ise $\frac{dy}{dx} = ? $
Çözüm
$ y' = (x+1) + (x-1) = 2x $
Örnek
$ y = \frac{x^2(x-2)} {\sqrt{x^3}} $ ise $\frac{dy}{dx} = ? $
Çözüm
\[y = \frac{x^2(x-2)} {x^\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (x-2) = x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} \]
\[ y' = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \]
Örnek
$ y = \frac{1} {x^2}(x^3 - \frac{1}{x}) $
Çözüm
\[ y = \frac{1} {x^2}(x^3 - \frac{1}{x}) = x - \frac{1}{x^3} \]
$y' = 1 + 3 x^{-4} $
Örnek
$ y = (2x+3)^3 $ ise $y'(x)$ = ?
Çözüm
$ y' = 3 (2x+3)^2 \cdot 2 = 6 (2x+3)^2 $
Örnek
$ y = (\frac{1}{x}-x^2 + \sqrt[3]{2x})^3 $ ise $y'(x)$ = ?
Çözüm
\[ y' = 3 (\frac{1}{x}-x^2 + \sqrt[3]{2x})^2 \cdot (- \frac{1}{x^2} - 2x + \frac{1}{3} (2x)^{-\frac{2}{3}}) \]
Örnek
$ f(1-2t) = t^3-2t^2+4 $ ise $f'(3) = ?$
Çözüm
$ ( f(1-2t))' = (t^3-2t^2+4)' \to -2 f'(1-2t) = 3t^2 - 4t $
$ f'(3) $ için $t = -1$ koymalıyız. $ -2 f'(3) = 3+4 \to f'(3) = - \frac{7}{2} $
Örnek
$f: N \to R$ olmak üzere
$ f(x^2-2) = 2x^3 - x^{-2}$ ise $f'(2) = ?$
Çözüm
\begin{align*}
(f(x^2-2))' &= (2x^3 - x^{-2})' \\
2x f'(x^2-2) &= 6x^2 + x^{-3} \\
\end{align*}
$ f'(2) $ için $ x=2$ koymalıyız.
$ x = -2$ tanım kümesinde olmadığı için koyamıyoruz.
\[ 2x f'(x^2-2) = 6x^2 + 2 x^{-3} \to 4 f'(2) = 24 + \frac{1}{4} \]
$ y'(2) = 6 + \frac{1}{16} $
Örnek
$ u'(3) = 4, v(1)=3, v'(1)=-1 $ ise $(u \circ v)'(1) = ?$
Çözüm
$ (u \circ v)'(1) = u'(v(1)) \cdot v'(1) \to u'(3) \cdot -1 = -4 $
Örnek
$ f(x) = x^3 - 2x^2-x+1 $ ve $ g(x) = -x^2+1 $ ise $(f \circ g)'(2)$
Çözüm
$(f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) $
$g(2) = -3$ ve $g'(x) = -2x \to g'(2) = -4 $
$f'(x) = 3x^2 - 4x - 1 \to f'(g(2)) = f'(-3) =38 $
\[ (f \circ g)'(2) = f'(g(2)) \cdot g'(2) = 38 \cdot -4 = -152 \]
Örnek
$ f(x-2) = (x^2-2)g(-x-1)$, $g(0) = 1$ ve $f'(-3)=0$ ise $g'(0) = ?$
Çözüm
\begin{align*}
f'(x-2) &= (x^2-2)' g(-x-1) + (g(-x-1))' \cdot (x^2 - 2) \\
f'(x-2) &= 2x \cdot g(-x-1) + - g'(-x-1) \cdot (x^2-2) \\
f'(-1-2) &= -2 \cdot(g(1-1) + - g'(1-1) \cdot (1-2) \\
f'(-3) &= -2g(0) + g'(0) \to g'(0) = 2 \\
\end{align*}
Örnek
$P(x)$ bir polinom olmak üzere $P(x) + P'(x) = 3x-4$ ise $P(-2)$ nedir?
Çözüm
Polinom derecesi türev alınca bir düştüğü için $P(x) $ birinci derece olmalıdır.
$ P(x) = ax + b \to P'(x) = a $ ve $P(x) + P'(x) = ax + a + b = 3x -4$. Buradan $a = 3$ ve $b = -7$ çıkar.
$P(x) = 3x - 7 \to P(-2) = -13 $
Örnek
$f(x) = x^3-2x^2$ ve $g(x) = -x + 2$ ise $(f+g)'(-1) = ?$
Çözüm
$f'(x) = 3x^2 - 4x$ ve $g(x) = -1$ dir.
$ (f + g)'(-1) = f'(-1) + g'(-1) = 3 + 4 + -1 = 6$