x^2+1=0 denklemini sağladığı varsayılan i sayısına sanal (imajiner) birim denir. Karmaşık sayı, bir reel ve bir de sanal kısımdan oluşur ve a+bi şeklinde gösterilir.
Her reel sayıyı, sanal kısmının katsayısı 0 olan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla karmaşık sayılar kümesi \mathbb{C}, reel sayılar kümesi \mathbb{R}'yi kapsar.
Kök derecesi çiftken içerde negatif sayı bulunduğunda sayı reel olmuyordu. Şimdi artık bu sayıları, karmaşık sayılar kümesi içine dahil edebiliriz. \sqrt{-1}=i yazıp bu sayıları bir karmaşık sayı biçiminde gösteriyoruz.
\sqrt{-3}=\sqrt{(3)\cdot (-1)}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}\cdot i
Reel olmayan bu karmaşık sayılarda, i'li forma çevirmeden çarpma yapamayız:
\sqrt{-3} \cdot \sqrt {-3} \neq \sqrt{(-3)\cdot (-3}=\sqrt{9} = 3
Önce \sqrt{-3}=\sqrt{3}i yapmalıyız.
\sqrt{-3} \cdot \sqrt {-3} = \sqrt{3}i \cdot \sqrt{3}i = 3 i^2 = -3
i'nin kuvvetleri:
Tanım gereği i^2=-1'dir.
i^3 = i^2\cdot i = -i
i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1
Örnek
i^{1001} işleminin sonucu nedir?
Çözüm
i^4=1 olduğundan i'nin üssü dörde bölünür ve kalan alınır. 1001 \div 4 işleminde kalan 1'dir. i^{1001}=i^1 dir. Bunun sebebi i^{1001} in üssü dörde bölününce şu şekilde yazılabilmesidir: i^{1001}= (i^4)^{250}\cdot i^1 = i
Örnek
i+i^2+i^3+\cdots i^{59} işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Bu toplamda ilk dört terimin toplamı birbirini yok etmektedir. i + i^2 + i^3 + i^4 = i + -1 + -i + 1 =0
Bundan sonraki dört terim de aslında ilk dört terimle aynıdır, çünkü 4 e bölüp kalan alırsak üsler gene 1,2,3,4 çıkar. i^5 + i^6 + i^7 + i^8 = i + i^2 + i^3 + i^4 =0
Bize verilen son terim i^{59} olduğundan son dörtlük tam değildir i^{57} + i^{58} + i^{59} = i + i^2 + i^3 =-1
Bilmemiz gereken iki kare var:
1. (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i
2. (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i
Örnek
(1-i)^{201} işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Üssü 2 ye böldüğümüzde, bölüm 100 ve kalan 1 dir:
\begin{align*} (1-i)^{201} = \left( (1-i)^2 \right)^{100} \cdot (1-i) & = (-2i)^{100} \cdot (1-i) \\ &= 2^{100} i^{100} \cdot (1-i)\\ &=2^{100} \cdot (1-i)\\ \end{align*}