Loading web-font TeX/Math/Italic
     

    x^2+1=0 denklemini sağladığı varsayılan i sayısına sanal (imajiner) birim denir. Karmaşık sayı, bir reel ve bir de sanal kısımdan oluşur ve a+bi şeklinde gösterilir.
    Her reel sayıyı, sanal kısmının katsayısı 0 olan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla karmaşık sayılar kümesi \mathbb{C}, reel sayılar kümesi \mathbb{R}'yi kapsar.
    Kök derecesi çiftken içerde negatif sayı bulunduğunda sayı reel olmuyordu. Şimdi artık bu sayıları, karmaşık sayılar kümesi içine dahil edebiliriz. \sqrt{-1}=i yazıp bu sayıları bir karmaşık sayı biçiminde gösteriyoruz.

    \sqrt{-3}=\sqrt{(3)\cdot (-1)}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{-1} = \sqrt{3}\cdot i


    Reel olmayan bu karmaşık sayılarda, i'li forma çevirmeden çarpma yapamayız:
    \sqrt{-3} \cdot \sqrt {-3} \neq \sqrt{(-3)\cdot (-3}=\sqrt{9} = 3

    Önce \sqrt{-3}=\sqrt{3}i yapmalıyız.
    \sqrt{-3} \cdot \sqrt {-3} = \sqrt{3}i \cdot \sqrt{3}i = 3 i^2 = -3

    i'nin kuvvetleri:
    Tanım gereği i^2=-1'dir.
    i^3 = i^2\cdot i = -i

    i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1

    Örnek


    i^{1001} işleminin sonucu nedir?

    Çözüm


    i^4=1 olduğundan i'nin üssü dörde bölünür ve kalan alınır. 1001 \div 4 işleminde kalan 1'dir. i^{1001}=i^1 dir. Bunun sebebi i^{1001} in üssü dörde bölününce şu şekilde yazılabilmesidir: i^{1001}= (i^4)^{250}\cdot i^1 = i


    Örnek


    i+i^2+i^3+\cdots i^{59} işleminin sonucu nedir?

    Çözüm


    Bu toplamda ilk dört terimin toplamı birbirini yok etmektedir. i + i^2 + i^3 + i^4 = i + -1 + -i + 1 =0

    Bundan sonraki dört terim de aslında ilk dört terimle aynıdır, çünkü 4 e bölüp kalan alırsak üsler gene 1,2,3,4 çıkar. i^5 + i^6 + i^7 + i^8 = i + i^2 + i^3 + i^4 =0
    Bize verilen son terim i^{59} olduğundan son dörtlük tam değildir i^{57} + i^{58} + i^{59} = i + i^2 + i^3 =-1


    Bilmemiz gereken iki kare var:

    1. (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i
    2. (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i

    Örnek


    (1-i)^{201} işleminin sonucu nedir?

    Çözüm


    Üssü 2 ye böldüğümüzde, bölüm 100 ve kalan 1 dir:
    \begin{align*} (1-i)^{201} = \left( (1-i)^2 \right)^{100} \cdot (1-i) & = (-2i)^{100} \cdot (1-i) \\ &= 2^{100} i^{100} \cdot (1-i)\\ &=2^{100} \cdot (1-i)\\ \end{align*}