Önemli bir sayı problemi tipi ile başlayalım.

Örnek


Bir çiftlikte toplam 50 adet tavşan ve tavuk vardır. Toplam ayak sayısı 184 olduğuna göre bu çiftlikte kaç tavşan vardır?

Çözüm


Toplamları değil de kaç tavşan kaç tavuk var bunu bilseydik ayak sayılarını hesaplayabilirdik. Örneğin 10 tavşan olsaydı 40 da tavuk olurdu. 10 tavşanın $10 \cdot 4$ ten 40 ayağı ve 40 tavuğun da $40 \cdot 2$ den 80 ayağı olurdu ve toplam ayak sayısı 120 olurdu. Bunun gibi $x$ tavşan varsa toplamları $50$ olduğundan $50-x$ tavuk vardır. $x$ tavşanın $4\cdot x$ ayağı ve $50-x$ tavuğun da $2 \cdot (50-x)$ ayağı vardır. Bir tablo ile gösterirsek





TavşanTavuk Toplam
Sayı $x$ $50-x$ $50$
Ayak Sayısı $4x$ $2(50-x)$ $2x + 100$

Toplam ayak sayısı $2x + 100$ verilen 184 e eşittir. Buradan $x = 42$ çıkar. Biz zaten tavşan sayısına $x$ demiştik.


Aynı soruyu bir de şöyle çözelim. Tüm hayvanlar tavşan olsaydı 50 tavşanın 200 ayağı olurdu. Halbuki 184 ayak var. 16 ayak fazlamız var. Bir tavşanı dokunup tavuğa çevirirsek 4 ayaklıyken iki ayaklı bir hayvana dönüşür yani iki ayak kaybederiz. $16$ ayak kaybetmek için $8$ tavşanı tavuğa dönüştürmeliyiz. Buradan da $8$ tavuk ve $42$ tavşan olduğu çıkar.


Bu soru ile şimdi çözeceğimiz örnek tamamen aynıdır sadece hikaye değişik.

Örnek


Bir kumbarada toplam 100 adet $50$ kuruş ve $1$ TL ler vardır. Kumbarada toplam 61 TL tutarında para varsa kaç tane $50$ kuruşluk vardır.

Çözüm


Çok karıştırılan şey para adedi ile paranın tutarı. Üzerindeki tutarı düşünmeden bir bozuk para bir tane paradır. $x$ tane 50 kuruşluk varsa $100 -x$ tane $1$ TL lik vardır. Bunların tutarlarını hesaplayıp toplayacağız. Gene bir tablo yapalım




50 krş1 TL Toplam
Adet $x$ $100-x$ $100$
Tutar $\frac{50x}{100}$ $100-x$ $100-\frac{x}{2}$

$50$ kuruşun lira olarak tutarı için 100 e böldük. $100-x$ tane $1$ TL lik de tutar olarak $100-x$ liradır. Bunları toplayıp verilen tutara eşitlersek
\[ 100-\frac{x}{2} = 61 \to x = 78 \]
$78$ tane 50 kuruşluk ve 22 tane 1 TL lik varmış. Gerçekten sağlamasını yapınca $78$ tane 50 kuruş 39 lira yapar, 22 tane 1TL zaten 22 lira yapar ve toplam 61 lira ederler.

İlk örnekte kullandığımız ikinci yolu burada da kullanabiliriz. Hepsi $50$ kuruş olsa, yani 100 adet $50$ kuruşumuz olsa $50$ TL tutardı. Tutarın $61$ lira olduğu söyleniyor. $11$ lira artış sağlamalıyız. Bir tane $50$ kuruşu $1$ TL ile değiştirirsek $50$ kuruşu kar ederiz. İki tanesini değiştirirsek $1$TL kar ederiz. 11 lira kar etmek için 22 tane 50 kuruşu 1 TL ile değiştirmeliyiz. Buna göre paraların 22 tanesi 1TL dir.

Aynı soru gene hikaye değişik.

Örnek


Bir sınavdaki toplam 50 sorudan bazıları 2 bazıları 3 puandır. Bu sınavda maksimum puan 105 olduğuna göre kaç tane 2 puanlık soru vardır.

Çözüm


$x$ soru 2 puanlık ise $50-x$ soru 3 puandır. Alınan puanları hesaplayıp verilen puana hesaplarsak
\[ 2x + 3(50-x) = 105 \to x = 45 \]

Başka bir soru tipi

Örnek


5 adım ileri 2 adım geri yürüyen bir kişi 190 adım attığında başlangıç noktasından kaç adım ötededir

Çözüm


Burada 5 adım ileri 2 adım geri hareketini 7 adımlık bir set olarak düşünelim. Bu 7 adımlık seti yaptığımızda $3$ adım ilerlemiş oluyoruz. Beş adım ileri 2 adım geri yaptıktan sonra tekrar beş adım ileri iki adım geri şeklinde bu yedilik setleri tekrarlayacağız. Elimizde kaç tane 7 adım var bunu bulmak için 190 ı yediye bölmeliyiz. $190 \div 7 = 27$ dir ve kalan $1$ dir. Buna göre $27$ tane 7 adımlık set gitmişiz ve her set $3$ adım ileri götürüyordu, buradan $27 \cdot 3 = 81$ adım ilerlemişiz. Bir adım da kaldı bununla da bir adım ileri gideriz ve $82$ adım ilerde olur.

Gene önemli bir soru tipi:

Örnek


Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 3 er 3 er otururlarsa 2 öğrenci ayakta, 4 er 4 er otururlarsa iki sıra boş kalıyor. Buna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?

Çözüm

Burada iki nicelik var. Biri sıra sayısı biri de sınıf mevcudu. Birine $x$ diyerek diğerini yazmaya çalışacağız. Sıra sayısı $x$ olsun. $x$ sıraya 3 erli oturulursa $3x$ tane oturan öğrenci olur, iki öğrenci de ayaktadır bu durumda toplam öğrenci $3x+2$ dir. İkinci hikayeden de sınıf mevcudunu yazmaya çalışalım. Bu biraz daha zor. $x$ sıra var, 4 erli oturuluyor ama her sıra dolu değil $2$ tanesi boş, yani $x-2$ sıra dolu ve her birinde $4$ öğrenci var, dolayısıyla oturanlar $4(x-2)$ ve bu da sınıf mevcuduna eşit. Bu iki ifadeyi eşitlersek
\[ 3x +2 = 4(x-2) \to x = 10 \]

$10$ sıra olduğunu bulduk. Hem $3x+2$ hem de $4(x-2)$ sınıf mevcudunun ifadeleridir birinde yazarsak mevcut 32 bulunur

Aynı soruda bir de sınıf mevcuduna $x$ diyelim ve anlatılan iki hikayeden de sıra sayısının ifadesini çıkarmaya çalışalım.

$x$ kişi var ve 3 erli oturuyorlar ve ikisi ayakta. Bu durumda oturanlar $x-2$ kişi ve üç kişi bir sıraya oturduğundan $\frac{x-2}{3}$ sıra olmalı

İkinci hikayede 2 sıra boşta ve dörderli oturuluyor. Buna göre $x$ kişinin tamamı oturuyor, her sırada dört kişi olduğundan bunlar $\frac{x}{4}$ sıradalar, iki sıra da boşta demek ki sıra sayısı $\frac{x}{4} + 2 $. Bu iki ifadeyi eşitlersek
\[ \frac{x-2}{3} = \frac{x}{4} + 2 \]
Buradan da $x = 32$ çıkar.

Örnek


10 arkadaş eşit katkı payı ile bir hediye alacaklardır. İçlerinden ikisi ayrıldığında kişi başına düşen pay 300 TL artmaktadır. Hediye kaç liradır?

Çözüm


İki nicelik var. Biri hediyenin toplam parası, bu ilk ve ikinci hikayede değişmeyen nicelik. İkincisi ise kişi başına düşen para. Bu ilk hikaye ile ikinci hikayeyi birbirine bağlıyor.

Örneğin ilk durumda kişi başına $x$ lira düşüyorsa ikinci durumda $(x+300)$ lira düşmektedir. İlk durumda 10 kişi var, her birine $x$ lira düştüğüne göre hediye
\[ 10x \]
İkinci durumda 8 kişi var her birine $(x+300)$ lira düştüğüne göre hediye
\[ 8(x+300) \] Bunları birbirine eşitlersek
\[ 10x = 8(x+300) \to x = 1200 \]
İlk durumda kişi başına $1200$ lira düşüyor ve 10 kişiden hediye $12000$ liradır.

Hem $10x$ hem de $8(x+300)$ ifadeleri hediyeye eşittir ve $x=1200$ den ikisi de 12000 lira verir.


İkinci bir yol şu olabilir. 8 kişiye düşünce herkes 300 lira fazla ödediğine göre toplam 2400 lira fazla ödüyorlar. Bu miktar giden iki kişinin ödediği miktar olmalı. Demek ki ilk durumda kişi başına 1200 lira düşüyormuş ve 10 kişi olduklarından 12000 liradır.


Özünde bir önceki örnekle aynı.

Örnek


Bir adam belli bir yolu 12 adımda almaktadır. Adımlarını 10cm uzatırsa 10.5 adımda almaktadır. Buna göre yol kaç cm dir?

Çözüm


Adamın ilk durumdaki adımları $x$ cm ise ikinci durumda $(x+10)$ cm dir. İlk durumda yolu yazmaya çalışalım. Her biri $x$ cm olan 12 adım atarsak $12x$ cm yol gideriz. İkinci durumda da her biri $(x+10)$ cm olan adımlarla 10.5 adım gidersek $10.5(x+10)$ cm yol gideriz. Bunları eşitlersek
\[ 12x = 10.5(x+10) \to 1.5x = 105 \to x = 70 \]
İlk durumdaki adım uzunluğuna $x$ demiştik ve $70$ cm çıktı. 12 adımda aldığına göre yol $12 \cdot 70 = 840 $ olur.

Örnek


Bir adam merdivenleri 3 er 3 er inip 4 er 4 er çıkmaktadır. İnerken 8 adım fazla attığına göre merdiven kaç basamaklıdır?

Çözüm


İnerken attığı adım sayısı $x$ ise her adımda $3$ basamak indiğine göre $3x$ basamak inecektir. İkinci durumda 8 adım daha az atıyor, $(x-8)$ adım atıyor ve her adımda $4$ basamak çıkıyor $4(x-8)$ basamak çıkar. Bunları eşitlersek
\[ 3x = 4(x-8) \to x = 32 \]
$x= 32 $ değerini basamak sayısının ifadesi olan $3x$ ya da $4(x-8)$ ifadelerinde yazarsak 96 basamak çıkar.

  • sayı problemleri
  • yaş problemleri
  •