• ders
• video
• test

Ardışık Sayıların Toplamı

Ardışık sayıların toplamı $ t \cdot o$ olarak özetlenebilir. Yani Terim sayısı (t) ve orta terimin (o) çarpımı. Basitten başlayıp genel kuralı anlayacağız. Örneğin birden yüze kadar olan şu toplamın değerini hemen nasıl bulabiliriz?
\[ 1+ 2+ 3+ \cdots + 100 = ? \]
Bu dizinin altına aynısını yazalım ancak bu sefer yüzden bire doğru gidelim ve altalta gelen sayıların toplamının hep aynı ve $101$ olduğuna dikkat edelim.

1	+	2	+	3	+	$\cdots$	+	100
100	+	99	+	98	+	$\cdots$	+	1

Altalta gelen sayıların toplamı hep 101 olduğuna göre ve burada 100 tane 101 oluşacağı çok açık olduğuna göre toplam $100 \cdot 101$ olur. Ancak bizim istediğimiz toplam bunun yarısı çünkü toplamını bulmak istediğimiz dizinin aynısını altına yazdık. Birden yüze kadar olan sayıların toplamı \[ \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \]

Burada ilk olarak şunu anlayabiliriz. Sayılar birer birer gitmek zorunda değil. Örneğin 3 er 3 er gitseler de alta aynı diziyi tersten yazdığımızda terimler de 3 er 3 er azalacağından toplam gene aynı kalacaktır. Şu diziyi düşünelim: \[ 3 + 6 + 9 + \cdots + 201 \]

3	+	6	+	9	+	$\cdots$	+	201
201	+	198	+	195	+	$\cdots$	+	3
$ = 204 $		$ = 204 $		$ = 204$		$\cdots$		$=204$

Burada da $204$ ler oluştu, ancak şimdi bir sorunumuz var. Bu dizi 3 er 3 er gittiğinden kaç sayı var ilk örnek kadar açık değil. Genel bir terim sayısı formülü vermeden önce şunu deneyebiliriz. $3,6,9, \cdots 201$ dizisinde her sayıyı $3$ e bölsek sayılar $1,2,3 \cdots 68$ e dönüşür ve $68$ terim olduğunu buluruz. Bu durumda toplam \[ 3 + 6 + 9 + \cdots + 201 = \frac{204 \cdot 68}{2} \]

Her terim orta terim

Buna bir de şöyle bakalım. Çok basit bir dizi düşünelim:
\[ 1 + 3 + 5 + 7 + 9\]
Orta terim $5$ ve 5 ten bir sağa gidersek 2 büyüyor bir sola gidersek iki küçülüyor. Benzer şekilde iki sağa gidersek 4 büyüyor iki sola gidersek dört küçülüyor. Örneğin $7$ fazla olan ikisini $3$ e verse ikisi de 5 e dönüşecek. $9$ fazla olan dördünü $1$ e verse ikisi de $5$ e dönüşecek. Aslında burada $5$ tane $5$ var yani toplam $25$!
Bu aritmetik ortalamanın da anafikridir. Örneğin sınavlarında 50,60,70 alan bir öğrencinin ortalaması $60$ tır ve bunun anlamı her sınavdan eşit puan alsaydı kaç alacaktı onu bulmaktır.

Orta terim verilen dizi de olmak zorunda bile değil şu diziyi düşünelim:
\[ 2 + 4 + 6+ 8 \] Orta terim $5$ tir.

Demek ki bu toplam da aslında dört tane $5$ var.

Herhangi bir terimde orta terimi (O) bulmak için ilk(i) ve son(s) terimleri toplayıp ikiye bölmemiz yeterli
\[ O = \frac{i + s}{2} \]
Bunu terim sayısı ile çarparsak da toplamı bulmuş oluyoruz. Şimdi de terim sayısını nasıl bulacağız ona bakalım

Terim sayısı

Ardışık sayılarda terim sayısını(t) bulmak için son terimden(s) ilk terim(i) çıkarılıp ortak farka(f) bölünür ve buna $1$ eklenir.
\[ t = \frac{s - i}{f} + 1 \]

Örneğin \[ 4,7,10, \cdots, 46 \]
Burada son terimden ilki çıkaralım $46-4 = 42$ sonra ortak fark $3$ e bölelim $42 \div 3 = 14$ ve $1$ ekleyelim ve $15$ terim var
\[ \frac{46-4}{3} + 1 = 15 \]

Peki neden böyle? bütün terimlerden ilk terimi çıkarırsak sayı dizisi
\[ 0,3,6 \cdots 42 \]
Bütün terimleri ortak fark $3$ e bölersek
\[ 0,1,2, \cdots 14 \]
Bütün terimlere $1$ eklersek
\[ 1,2,3, \cdots 15 \]

Böylece verilen sayı dizisini sayma sayıları ile eşlemiş olduk. Son terimin geldiği hal bize zaten kaç sayı olduğunu direk gösteriyor. Formül aslında son terimin başına gelenler.

Ardışık tek ve çift sayıların toplamı

Önce birden $n$ e kadar olan sayıların toplamını çıkaralım. Orta terim $\frac{n+1}{2}$ ve terim sayısı da $n$ olacağından
\[ 1 + 2+ 3 + \cdots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \]

Çift sayıları düşünelim
\[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n \]
Terimleri $2$ ortak parantezine alırsak zaten $1$ den $n$ e kadar sayılar toplamına dönüşüyor
\[ 2 + 4 + 6 + \cdots + 2n = 2(1+2+3 + \cdots +n) = 2 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2} = n(n+1) \]

Örneğin \[ 2+4+6+8+ \cdots + 200 \]
Bu toplamda $2n = 200 $ den $n=100$ ve çift sayıların toplam formülünden
\[ n(n+1) = 100 \cdot 101 =10100 \]

Birden başlayan ardışık tek sayıların toplamında da terim sayısı ile orta terimi çarptığımızda ilginç bir formül çıkıyor.

\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1 \]
Burada terim sayısı formülü uygularsak $n$ buluyoruz ve orta terim için de son ve ilki toplayıp ikiye bölersek $n$ buluyoruz. Buna göre toplam $n^2$ çıkıyor.
\[ 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n-1 = n^2 \]

Örneğin şu toplamda son terimi $2n-1$ e eşitleyip $n$ yi bulmamız yeterli
\[ 1 + 3+ 5 + \cdots + 97 \]

$2n-1 = 97 \to n = 49$ ve toplam $n^2 = 49^2$

Çözümlü Örnekler