\begin{align*}
89 \div 3&=29 \rightarrow \text{ kalan} = \boxed 2 \\
29 \div 3&=9 \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 2 \\
9 \div 3&=3 \rightarrow \text{ kalan}= \boxed 0 \\
3 \div 3&= \boxed {1} \\
\end{align*}

$1$ artık üçe bölünemediği için son bölüm olarak $1$'i alıyoruz ve kalanları tersten sıralıyoruz.
Cevap $(89)_{10}=(1022)_{3} $ olur.

Yaptığımız işlemler sırasıyla, önce ilk basamaktaki $4$ ile yukarıdaki ilk basamaktaki çarptık, $4 \cdot 4=16$ , $16 \gt 5$ tabanımızdan büyük olduğu için tabanımıza bölüyoruz bölüm $3$ ve kalan $1$, kalanı aşağı yazıyoruz, elimizde $3$ var onu da bir sonraki basamağa devredeceğiz.
$4$ ile yine yukarıdaki sayının ikinci basamağındaki $4$'ü çarpıyoruz, $4 \cdot 4=16$ elde $3$ vardı onu da topluyoruz, $19$ , $19 \gt 5$ yine $19$'u tabanımıza bölüyoruz, kalan $4$ aşağı yazıyoruz, bölüm $3$ ise bir sonraki basamağa devrediyor. Çarpacak basamak kalmadığı için devreden $3$ direkt sonraki basamağa yazılıyor.
Aynı şekilde alttaki sayımızın ikinci rakamı $3$ ile çarpıma devam ediyoruz, burda onluk düzendeki gibi kaydırma yapacağız. $3 \cdot 4=12$ , $12 \gt 5$ olduğu için, $5$'e bölüyoruz, kalan $2$ bölüm $2$, kalanı aşağı yazıyoruz, bölümü elde olarak devrediyoruz. $3 \cdot 4=12$ eldeki $2$'yi de ekliyoruz $12+2=14$, $14 \gt 5$ , tabanımıza bölüyoruz, bölüm $2$ kalan $4$ kalanı aşağı yazıyoruz, bölümü de çarpacak rakam kalmadığı için bir sonraki basamağa yazıyoruz.
Çarpma işleminin sonucunu bulmak için, bulduğumuz sayıları topluyoruz, toplarken yine taban aritmetiğinin kuralları geçerli, $5$'lik tabana göre toplama işlemini yapcağız.
$1$ direkt aşağı iniyor, $4+2=6$ , $6$'dan $5$ çıktı, $1$, $1$ aşağı yazılıyor elde de bir sonraki basamağa $1$ devrediyor.
$3+4=7$ elde $1$ vardı, $7+1=8$, $8$'den $5$ çıktı $3$ kaldı, aşağı yazılıyor, eldeki $1$'de sonraki basamağa devrediyor.
Sonraki basamakta $2$ var, eldeki $1$'le toplayıp aşağı yazıyoruz.
Sonuç: $(3311)_{5}$

• $(abc)_{n}$ şeklinde bir sayıda $n$ tek ise, sayının rakamları toplamına bakacağız.
  Eğer $a+b+c$ tek ise sayımız tek, çift ise çift olur.


• 
  $n$ çift ise, sayının birler basamağına bakacağız, aynı onluk tabandaki gibi, sayımızın birler basamağı çift ise sayı çift, tek ise tektir.
  

1. 
   \begin{align*}
   (n+1)! &=x(n-1)! \\
   (n+1)(n)(n-1)! &= x(n-1)! \\
   (n+1)(n) &= x \\
   x&= n^2+n \\
   \end{align*}
   


2. 
   \begin{align*}
   12! &=10!\cdot 3!\cdot n \\
   12\cdot 11 \cdot 10!&= 10!\cdot 3! \cdot n \\
   12\cdot 11 &= 3! \cdot n \\
   132 &= 3\cdot 2\cdot 1 \cdot n \\
   n &= \frac{132}{6} \\
   n &= 22 \\
   \end{align*}
   


3. 
   \begin{align*}
   9!\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13 &= n \cdot 11! \\
   & \\
   & & \quad 9! \cdot 10\cdot 11 &= 11! \\
   & \\
   11! \cdot 12\cdot 13 &= n\cdot 11! \\
   12\cdot 13 &= n \\
   n &= 156 \\
   \end{align*}
   

\begin{align*}
44 \div 2&= \boxed {22} \\
22 \div 2&= \boxed {11} \\
11 \div 2&= \boxed 5 \\
5 \div 2&= \boxed 2 \\
2 \div 2&= \boxed 1 \\
\end{align*}
Toplam $22+11+5+2+1=41$ tane $2$ çarpanımız varmış. $2^3$ için bize $3$ tane $2$ lazım olduğuna göre $41$ sayısını da $3$'e bölmeliyiz. $41 \div 3=13$ yani $44!$'deki $24$ çarpanlarını bulmak için bize gereken $2^3\cdot 3$ çarpanlarından $13$ tane $2^3$'müz var, $19$ tane de $3$ çarpanımız var. Bu durumda küçük olan sayıyı alıyoruz, çünkü $24$ oluşturmak için bir tane $3$ çarpanı ve üç tane $2$ yani bir tane $2^3$ çarpanına ihtiyacımız var, $41!$ içinde $13$ tane $2^3$ çarpanı var, $19$ tane de $3$ çarpanı var, koşulu sağlamamız için bize gereken $13$ tane $2^3$ çarpanımız olduğu için en fazla $13$ tane $24$ çarpanımız olabilir. Cevap $13$'tür

\begin{align*}
a\cdot b&=35=5\cdot 7 \\
b\cdot c&=14=2\cdot 7 \\
& \\
a&=5 \text{ , } b=7 \text{ ve } c=2 \\
& \\
c\cdot d&=2\cdot d=26 \rightarrow d=13 \\
\end{align*}
$a+b+c+d=5+7+2+13=27$