Türev-Fonksiyon türevleri I

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Çözümlü Örnekler I
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
Çözümlü Örnekler II

Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Tabloda

$u$ ,

$x$ e bağlı bir fonksiyondur.

$u = x$ olduğunda verilen kurallarda

$u'$ kısmı gereksizdir. Örneğin (

$\sin x)' = \cos x$ ya da

$(\tan x)' = 1 + \tan^2 x$ olur.

$\sin u$	$\cos u$	$\tan u$	$\cot u$	$\sec u$	$\csc u$
$u' \cos u$	$- u' \sin u$	$u' \sec^2 u = u'(1+tan^2 u)$	$- u' \cot^2 u =- u'(1+ \csc^2) u$	$u' \sec u \tan u$	$- u' \csc u \cot u$

Çözümlü Örnekler I

Örnek

$y = \sin(2x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$u = 2x$ tir ve

$\sin u$ türevi

$u' \cos u$ olduğundan

$(\sin 2x)' = 2 \cos 2x$

Örnek

$y = \sin^2(2x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

Burada bir fonksiyonun(

$\sin 2x$ ) üssünün türevi alındığından önce üssü düşürüp bir azaltacağız. Daha sonra fonksiyonun türevini alacağız.

$\frac{dy}{dx} = 2 \sin 2x \cdot 2 \cos 2x = 4 \sin 2x \cos 2x$ . Son sonuç yarım açı formüllerinden

$2 \sin 4x$ olarak yazılabilir.

Örnek

$y = \sin^3(x^2)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin^2(x^2) \cdot 2x \cos(x^2) = 6 x \sin^2(x^2) \cos(x^2)$

Örnek

$y = \cos(-2x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$(\cos u)' = - u' \sin u$ olduğundan

$\frac{dy}{dx} = 2x \sin (-2x)$

Örnek

$y = \sin x \cos x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

Çarpma türevi uygulayabiliriz.

$(f \cdot g )' = f' g + g' f$ olduğundan

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos 2x$

Örnek

$y = x \cos x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$(f \cdot g )' = f' g + g' f$ olduğundan

$\frac{dy}{dx} = \cos x - x \sin x$

Örnek

$y = \frac{x}{\cos x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$(\frac{f}{g})' = \frac{f' g - g' f }{g^2}$ olduğundan

$\frac{dy}{dx} = \frac{ \cos x + x \sin x} { \cos^2 x}$

Örnek

$y = \sin^2 x \cos x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos^2 x - \sin^3 x$

Örnek

$y = \sin(\sin x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\sin u$ türevi

$u' \cos u$ dur.

$\frac{dy}{dx} = \cos x \cos(\sin x)$

Örnek

$y = \tan x \sin x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$(1 + \tan^2 x) \sin x + \cos x \tan x$

Örnek

$y = \tan x \sec x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = (1 + \tan^2 x) \sec x + \sec x \cdot \tan^2 x$

Örnek

$y = \tan^2(2x+1)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= 4 \tan(2x+1)(1+\tan^2(2x+1))$

Örnek

$y = \sec^2(x^2)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = 4x \cdot\sec(x^2) \sec(x^2) \tan (x^2) = 4x \cdot \sec^2(x^2) \tan (x^2)$

Örnek

$y = x \cdot \cot^2 x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= \cot^2 x - 2 x \cot x (1+\cot^2 x)$

Örnek

$y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{( \cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2}$

Örnek

$y = \sqrt{\csc (-x)}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$( \sqrt{u})' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}}$ olduğundan

$\frac{dy}{dx} = \frac{\csc (-x) \cot(-x)}{2 \sqrt{sec(-x)}}$

Örnek

$y = \cot(x+\csc x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$( \cot u)' = - u'(1+\cot^2 u )$ dur ve burada

$u = (x + \csc x)$

$- (x + \csc x)' (1 + \cot^2(x + \csc x) )= -(1 - \csc x \cot x) (1 + \cot^2(x + \csc x))$

Örnek

$y = \sin^4 x - \cos^4 x$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$ ve

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Yarım açı formüllerinden

$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ tir.

$y =\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = - \cos 2x$

$\frac{dy}{dx} = 2 \sin 2x$

Örnek

$y =\displaystyle\frac{\cos x}{1+ \sin x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} =\frac{ - \sin x(1 + \sin x) - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2 }= \frac{- \sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 + \sin x)^2 } = - \frac{1}{1 + \sin x}$

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi

$e^u$	$a^u$	$\ln u$	$\log_a u$
$u' e^u$	$\ln a \cdot a^u$	$\displaystyle\frac{u'}{u}$	$\displaystyle\frac{u'}{u \ln a}$

Çözümlü Örnekler II

Örnek

$y = e^{2x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= 2 e^{2x}$

Örnek

$y = e^{x^2}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= 2x e^{x^2}$

Örnek

$y = e^{-x+\sin x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = (-1 + \cos x) e^{-x+\sin x}$

Örnek

$y = e^{\sec x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= \sec x \tan x e^{\sec x}$

Örnek

$y = e^{\csc^2 x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= -2 \csc^2 x \cot x e^{\csc^2 x}$

Örnek

$y = 3^{-x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$-\ln 3 \cdot 3^{-x}$

Örnek

$y = 3^{\frac{1}{x}}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= -\frac{\ln 3 }{x^2}3^{\frac{1}{x}}$

Örnek

$y = e^{x^2 - \cot x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = (2x + 1+ \cot^2 x)e^{x^2 - \cot x}$

Örnek

$y = e^{\tan^2(2x-1)}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= 4 \tan (2x-1)(1 + \tan^2(2x-1)) e^{\tan^2(2x-1)}$

Örnek

$y = 5^{x \sin x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= \ln 5(\sin x + x \cos x) 5^{x \sin x}$

Örnek

$y = x e^{x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= e^x + x e^x$

Örnek

$y = \sin(e^{-2x})$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}=-2 e^{-2x} \cos(e^{-2x})$

Örnek

$y = \sec(3^{x^2-1})$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx}= 2 \ln 3 \cdot x \cdot 3^{x^2-1} \sec(3^{x^2-1}) \tan(3^{x^2-1})$

Örnek

$y = \ln x^2$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ olduğundan

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$

Örnek

$y = \ln (\sin x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

Örnek

$y = \ln (\cos^2 x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos x \cdot (- \sin x)}{\cos^2 x} = - 2 \tan x$

Örnek

$y = \ln (\ln x)$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\ln x)'}{\ln x} = \frac{1 }{x \ln x}$

Örnek

$y = \ln (x^2 \cdot \sqrt{2x^2-1})$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

Logaritma özelliklerinden yararlanarak bu ifadeyi dağıtabiliriz.

$\ln (f \cdot g) = \ln f + \ln g$ ve

$\ln b^a = a \ln b$ dır.

$y = \ln (x^2 \cdot \sqrt{2x^2-1}) = \ln(x^2) + \ln(\sqrt{2x^2-1}) = 2 \ln x + \frac{1}{2} \ln (2x^2 -1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{4x }{4x^2-2}$

Örnek

$y = \log_5{x \cot^2 x}$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x \cot^2 x)'}{\ln 5 \cot^2 x} = \frac{\cot^2x - 2x \cot x (1 + \cot^2x)}{\ln 5 \cot^2 x}$

Örnek

$y = \log^3(x) - \log x^3$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} =3 \log^2 x \cdot \frac{1}{x \ln 10}- \frac{3}{x \ln 10}$

Örnek

$y = \ln (\sin (\ln x))$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{1}{x} \cos (\ln x)}{\sin (\ln x) }= \frac{\cot (\ln x)}{x}$

Örnek

$y = x (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) )$ ise

$\frac{dy}{dx}=?$

Çözüm

$\begin{align*} y' &=(\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) + x (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) )' \\ &= (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) + x \left( \frac{1}{x} \cos (\ln x) - \frac{1}{x} \sin(\ln x) \right) \\ &= (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) + ( \cos(\ln x) - \sin (\ln x) ) \\ &= \cos^2(\ln x) - \sin^2(\ln x) \\ &= \cos (2 \ln x) \end{align*}$

Türev

Türev Çözümlü Sorular I

Fonksiyon türevleri I

Fonksiyon türevleri II

Video I

Video II

türev ispat-trigonometrik fonksiyonlar