Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
Tabloda $u$, $x$ e bağlı bir fonksiyondur. $u = x$ olduğunda verilen kurallarda $u'$ kısmı gereksizdir. Örneğin ($ \sin x)' = \cos x $ ya da $ (\tan x)' = 1 + \tan^2 x $ olur.
| $\sin u $ | $\cos u $ | $\tan u $ | $\cot u $ | $\sec u $ | $\csc u $ |
|---|---|---|---|---|---|
| $u' \cos u $ | $- u' \sin u $ | $u' \sec^2 u = u'(1+tan^2 u) $ | $- u' \cot^2 u =- u'(1+ \csc^2) u $ | $u' \sec u \tan u $ | $- u' \csc u \cot u $ |
Çözümlü Örnekler I
Örnek
$ y = \sin(2x) $ ise $\frac{dy}{dx}=? $
Çözüm
$ u = 2x $ tir ve $ \sin u$ türevi $u' \cos u $ olduğundan $ (\sin 2x)' = 2 \cos 2x $
Örnek
$ y = \sin^2(2x) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
Burada bir fonksiyonun($ \sin 2x $) üssünün türevi alındığından önce üssü düşürüp bir azaltacağız. Daha sonra fonksiyonun türevini alacağız.
$ \frac{dy}{dx} = 2 \sin 2x \cdot 2 \cos 2x = 4 \sin 2x \cos 2x $. Son sonuç yarım açı formüllerinden $ 2 \sin 4x $ olarak yazılabilir.
Örnek
$ y = \sin^3(x^2) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx} = 3 \sin^2(x^2) \cdot 2x \cos(x^2) = 6 x \sin^2(x^2) \cos(x^2) $
Örnek
$ y = \cos(-2x) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ (\cos u)' = - u' \sin u$ olduğundan $\frac{dy}{dx} = 2x \sin (-2x) $
Örnek
$ y = \sin x \cos x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
Çarpma türevi uygulayabiliriz. $ (f \cdot g )' = f' g + g' f $ olduğundan
$ \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \sin x = \cos 2x $
Son sonuçta yarım açı formülü uyguladık. \[ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \]
Örnek
$ y = x \cos x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ (f \cdot g )' = f' g + g' f $ olduğundan $\frac{dy}{dx} = \cos x - x \sin x $
Örnek
$ y = \frac{x}{\cos x} $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ (\frac{f}{g})' = \frac{f' g - g' f }{g^2}$ olduğundan \[ \frac{dy}{dx} = \frac{ \cos x + x \sin x} { \cos^2 x} \]
Örnek
$ y = \sin^2 x \cos x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cos^2 x - \sin^3 x $
Örnek
$ y = \sin(\sin x) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \sin u $ türevi $ u' \cos u$ dur. $ \frac{dy}{dx} = \cos x \cos(\sin x) $
Örnek
$ y = \tan x \sin x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ (1 + \tan^2 x) \sin x + \cos x \tan x $
Örnek
$ y = \tan x \sec x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx} = (1 + \tan^2 x) \sec x + \sec x \cdot \tan^2 x $
Örnek
$ y = \tan^2(2x+1) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= 4 \tan(2x+1)(1+\tan^2(2x+1))$
Örnek
$ y = \sec^2(x^2) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx} = 4x \cdot\sec(x^2) \sec(x^2) \tan (x^2) = 4x \cdot \sec^2(x^2) \tan (x^2) $
Örnek
$ y = x \cdot \cot^2 x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= \cot^2 x - 2 x \cot x (1+\cot^2 x) $
Örnek
\[ y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \] ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
\[ \frac{( \cos x + \sin x)(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{2}{(\sin x + \cos x)^2} \]
Örnek
$ y = \sqrt{\csc (-x)}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ ( \sqrt{u})' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}} $ olduğundan \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\csc (-x) \cot(-x)}{2 \sqrt{sec(-x)}} \]
Örnek
$ y = \cot(x+\csc x)$ ise $\frac{dy}{dx}=? $
Çözüm
$ ( \cot u)' = - u'(1+\cot^2 u )$ dur ve burada $u = (x + \csc x)$
$ - (x + \csc x)' (1 + \cot^2(x + \csc x) )= -(1 - \csc x \cot x) (1 + \cot^2(x + \csc x)) $
Örnek
$ y = \sin^4 x - \cos^4 x $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $ ve $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Yarım açı formüllerinden $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ tir.
$ y =\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = - \cos 2x$
$ \frac{dy}{dx} = 2 \sin 2x $
Örnek
$ y =\displaystyle\frac{\cos x}{1+ \sin x} $ ise $ \frac{dy}{dx}=? $
Çözüm
\[ \frac{dy}{dx} =\frac{ - \sin x(1 + \sin x) - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2 }= \frac{- \sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 + \sin x)^2 } = - \frac{1}{1 + \sin x} \]
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
| $e^u $ | $a^u$ | $\ln u$ | $ \log_a u $ |
|---|---|---|---|
| $ u' e^u$ | $\ln a \cdot a^u $ | $\displaystyle\frac{u'}{u} $ | $\displaystyle\frac{u'}{u \ln a} $ |
Çözümlü Örnekler II
Örnek
$ y = e^{2x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= 2 e^{2x} $
Örnek
$ y = e^{x^2}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= 2x e^{x^2} $
Örnek
$ y = e^{-x+\sin x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx} = (-1 + \cos x) e^{-x+\sin x} $
Örnek
$ y = e^{\sec x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= \sec x \tan x e^{\sec x}$
Örnek
$ y = e^{\csc^2 x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= -2 \csc^2 x \cot x e^{\csc^2 x} $
Örnek
$ y = 3^{-x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ -\ln 3 \cdot 3^{-x}$
Örnek
$ y = 3^{\frac{1}{x}}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= -\frac{\ln 3 }{x^2}3^{\frac{1}{x}} $
Örnek
$ y = e^{x^2 - \cot x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx} = (2x + 1+ \cot^2 x)e^{x^2 - \cot x} $
Örnek
$ y = e^{\tan^2(2x-1)}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx}= 4 \tan (2x-1)(1 + \tan^2(2x-1)) e^{\tan^2(2x-1)} $
Örnek
$ y = 5^{x \sin x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= \ln 5(\sin x + x \cos x) 5^{x \sin x} $
Örnek
$ y = x e^{x}$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx}= e^x + x e^x $
Örnek
$ y = \sin(e^{-2x})$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$ \frac{dy}{dx}=-2 e^{-2x} \cos(e^{-2x}) $
Örnek
$ y = \sec(3^{x^2-1})$ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
$\frac{dy}{dx}= 2 \ln 3 \cdot x \cdot 3^{x^2-1} \sec(3^{x^2-1}) \tan(3^{x^2-1})$
Örnek
$ y = \ln x^2 $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
$ (\ln u)' = \frac{u'}{u} $ olduğundan $ \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} $
Örnek
$ y = \ln (\sin x) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $Örnek
$ y = \ln (\cos^2 x)$ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos x \cdot (- \sin x)}{\cos^2 x} = - 2 \tan x $Örnek
$ y = \ln (\ln x) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\ln x)'}{\ln x} = \frac{1 }{x \ln x} $Örnek
$ y = \ln (x^2 \cdot \sqrt{2x^2-1}) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
Logaritma özelliklerinden yararlanarak bu ifadeyi dağıtabiliriz. $ \ln (f \cdot g) = \ln f + \ln g$ ve $\ln b^a = a \ln b$ dır.\[ y = \ln (x^2 \cdot \sqrt{2x^2-1}) = \ln(x^2) + \ln(\sqrt{2x^2-1}) = 2 \ln x + \frac{1}{2} \ln (2x^2 -1) \]
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{4x }{4x^2-2} $
Örnek
$ y = \log_5{x \cot^2 x} $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x \cot^2 x)'}{\ln 5 \cot^2 x} = \frac{\cot^2x - 2x \cot x (1 + \cot^2x)}{\ln 5 \cot^2 x} $
Örnek
$ y = \log^3(x) - \log x^3 $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
$\frac{dy}{dx} =3 \log^2 x \cdot \frac{1}{x \ln 10}- \frac{3}{x \ln 10} $
Örnek
$ y = \ln (\sin (\ln x)) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$Çözüm
\[ \frac{dy}{dx} =\frac{\frac{1}{x} \cos (\ln x)}{\sin (\ln x) }= \frac{\cot (\ln x)}{x} \]
Örnek
$ y = x (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) $ ise $\frac{dy}{dx}=?$
Çözüm
\begin{align*}
y' &=(\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) + x (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) )' \\
&= (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) + x \left( \frac{1}{x} \cos (\ln x) - \frac{1}{x} \sin(\ln x) \right) \\
&= (\sin (\ln x) + \cos(\ln x) ) + ( \cos(\ln x) - \sin (\ln x) ) \\
&= \cos^2(\ln x) - \sin^2(\ln x) \\
&= \cos (2 \ln x)
\end{align*}