Kökleri verilen ikinci derece denklem


Kökleri verilen bir ikinci derece denklemi basit bir şekilde şöyle yazabiliriz. Kökleri $2$ ve $3$ olan bir denklem düşünelim: \[ (x-2)(x-3)=0 \] Bu ifadeyi dağıttığımızda $x^2-5x+6=0$ çıkar. Burada $x$'in katsayısı $-5$ in kökler toplamının ters işaretlisine, sabit sayı olan $+6$'nın verilen köklerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edelim. İlerde ispatını yapacağımız gibi, bu her zaman böyle olmak zorundadır. Hemen başka bir örnek yazalım: Kökleri $1$ ve $4$ olan denklem \[ (x-1)(x-4)=0\] Dağıttığımızda $x^2-5x+4=0$ çıkar. Gene $x$'in katsayısının ters işaretlisi verilen köklerin toplamına, sabit sayı da çarpımı olan +4'e eşit oldu.

Demek ki kökleri verilen bir denklemin açık halini hemen yazabiliriz. Örneğin kökleri $2$ ve $6$ olan denklemin açık halini yazalım. Kökler toplamı $8$ ve çarpımı $12$ dir. Demek ki denklem \[ x^2 - 8x +12=0\]

Bir denklemin açık halini hemen yazmak için $x^2 - \textbf{T} x + \textbf{Ç} = 0$ yapmamız yeterli oluyor. $\textbf{T}$ kökler toplamını, $\textbf{Ç}$ ise kökler çarpımını ifade ediyor.)

Şimdi ilk yazdığımız denklemi, $(x-2)(x-3)=0$, bir sayı ile çarpalım. Örneğin \[ 5(x-2)(x-3)=0\] Gene bu eşitliği sağlayan $x$ değerleri $2$ ve $3$ tür. Denklemi sabit bir sayı ile çarpınca kökler değişmiyor. Ancak dağıtınca \[ 5x^2-25x+30=0\] elde ediyoruz. Artık $x$ in katsayısı kökler toplamını vermiyor. Ancak $x^2$ nin katsayısına bakıp denklemin kaçla çarpıldığını anlayabiliriz, $5$ ile. Demek ki $-25$ i $5$ e bölmemiz yeterli. Yani eğer $x^2$'nin katsayısı $1$ değilse, tüm denklemi o sayıya bölersek kökler çarpımını ve toplamını yine görebiliriz.

Kökler toplamı ve çarpımı


Şimdi yazacağımız sonuç artık anlaşılmaktadır:
\[ax^2+bx+c= 0\] şeklinde verilen bir denklem için kökler toplamı ve çarpımı ile denklemin $a,b,c$ katsayıları arasında şu ilişkiler vardır:

\begin{align*} x_{1}+x_{2} = \frac{-b}{a} && x_{1}\times x_{2} = \frac{c}{a} \end{align*}

Genel bir ispatı şöyle yapabiliriz: Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan en genel ikinci derece denklem $a \in \mathrm{R}, a \neq 0$ olmak üzere, kolayca anlaşılacağı gibi \[ a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)=0 \]
Bu denklemi dağıtırsak $a(x^2-x\cdot x_1 - x \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2)$ çıkar. Düzenlersek: \[a [ x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 ]=0\] elde ederiz.

Aşağıdaki denklemlerin açık halini katsayıları tam sayı olacak şekilde \[x^2 - Tx + Ç= 0 \] den yararlanarak yazınız. (gerekirse tam sayı olması için denklemi bir sayıyla genişletin)

Kökleri $-1$ ve $4$ olan bir denklem
+ cevabı göster - cevabı gizle
$(x+1)(x-4)=x^2-3x-4=0$

Kökleri $0$ ve $1$ olan bir denklem
+ cevabı göster - cevabı gizle
$(x)(x-1)=x^2-x=0$

Kökleri $\frac{1}{2}$ ve $\frac{1}{3}$ olan bir denklem
+ cevabı göster - cevabı gizle
$6(x-\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})=6x^2-5x+1=0$

Kökleri $-3$ ve $-3$ olan bir denklem
+ cevabı göster - cevabı gizle
$(x+3)(x+3)=x^2+6x+9=0$

Şimdi kökler toplamı ve çarpımı ve katsayılar arasındaki bağlantılardan yararlanan örnekler çözelim

Örnek


$x^2 - 5x + m-1 $ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir. $2x_1 + x_2 = 4$ olduğuna göre $m$ kaçtır?

Çözüm


Denklemden $x_1+ x_2$ değerini okuyabiliriz
\begin{align*} x_1+ x_2 &= - \frac{b}{a} \\
&= - \frac{-5}{1} = 5
\end{align*}
Kökler arasında başka bir bağlantı da verilmiş. İki bilinmeyen ve iki denklem var. Ortak çözersek:
\begin{align*}
2x_1 + x_2 &= 4 \\
x_1 + x_2 &= 5
\end{align*}

Ortak çözümden $x_1 = -1$ ve $x_2 = 6$ çıkar. Köklerden herhangi birini bulduğumuzda denklemde yerine yazıp $m$ yi bulabiliriz. Örneğin $x_1 = -1$ olduğundan
\[ x^2 - 5x + m -1 \to (-1)^2 - 5(-1) + m-1 = 0 \to m = -5 \]

İkinci bir yol şu olabilir. İki kökü de bulduysak kökler çarpımı $x_1 \cdot x_2 = -6$ dır. Bu da $\frac{c}{a}$ olduğundan
\[ \frac{c}{a} = m-1 = -6 \to m = -5 \]

Örnek


$x^2 - (m-1) x - 7 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.
\[ x_1 - \frac{2}{x_2} = 1 \] olduğuna göre $m$ kaçtır?

Çözüm


Bize verilen ifadeyi biraz düzenleyelim:
\[ x_1 - \frac{2}{x_2} = \frac{x_1 \cdot x_2 - 2}{x_2} = 1 \]

$x_1 \cdot x_2$ değerini denklemden okuyalım
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -7 \]
Bu değeri yerine koyarsak
\[ \frac{x_1 \cdot x_2 - 2}{x_2} = 1 \to x_2 = -9 \]
Denklemin bir kökünü bulduğumuza göre denklemde yerine koyduğumuzda denklemi sağlamalı:
\[ x^2 - (m-1) x - 7 = 0 \to (-9)^2 - (m-1)\cdot -9 - 7 = 0\]
Bu denklemin çözümünden $m = \frac{83}{9}$

Örnek


$x^2 - 6x -p+1 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir.
\[ x_1^2 - x_2^2 = 12 \]
olduğuna göre $p$ kaçtır?

Çözüm


$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ olduğundan
\[ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12 \]
$x_1 + x_2$ değeri denklemden
\[ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{1} = 6 \]
Bu değeri yazarsak $x_1 - x_2 = 2$ çıkar.
İki denklemi altalta toplarsak
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= 6 \\
x_1 - x_2 &= 2 \\
2x_1 &= 8 \\
x_1 &= 4
\end{align*}

Denklemin bir kökünü bulduğumuza göre denklemde koyduğumuzda sağlamalı
\[ 4^2 - 6 \cdot 4 - p+1 = 0 \to p = -7 \]

Örnek


$x^2 - (2+k)x + 2k = 0$ denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre $k$ kaçtır?

Çözüm

Sİmetrik iki kök var demek köklerden biri $a$ ise diğeri $-a$ demektir başka bir deyişle kökler toplamı $0$ dır.
\[ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = 0 \to b=0\]
Kökler toplamı $0$ ise $b=0$ dır.
\[ -(2+k) = 0 \to k = -2 \]

Örnek


$3x^2 - 5x - 4 = 0 $ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm


Kökler toplamı ve çarpımını verilen denklemden okuyabiliriz. Sorulan ifadeyi düzenlersek:
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} \]

Verilen denklemden
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} = - \frac{-5}{3} = \frac{5}{3} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{-4}{3}
\end{align*}

Bu değerleri yazarsak
\[ \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{-4}{3}} = - \frac{5}{4} \]

Yukarıda köklerini bilmeyip kökler toplamı ve çarpımını bilirsek bir denklemi yazabileceğimizi öğrendik. Aşağıda bununla ilgili standart ve çok önemli bir kaç örnek çözülmektedir:

Örnek


$3x^2 + 6x-12$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ dir. Kökleri $x_{1}-1$ ve $x_{2}-1$ olan denklemi yazınız.


Çözüm

Biz yeni bir denklem yazmak istiyoruz. Bu denklemin kökleri $x_{1}-1$ ve $x_{2}-1$. Demek ki yeni denklemin kökler toplamı $(x_{1}-1)+(x_{2}-1)$. Yani $(x_{1}+x_{2}-2)$ yi bulmalıyız. Ilk verilen denklemden $(x_{1}+x_{2})$ yi bulabiliriz.
\[\frac{-b}{a}=\frac{-6}{3}=-2=(x_{1}+x_{2})\]
Demek ki kökler toplamı $(x_{1}+x_{2}-2)=-4$

Aynı şekilde yeni denklemin kökler çarpımı$(x_{1}-1)\times(x_{2}-1)$ dir. Bu ifadeyi dağıtırsak
\[(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1)\] buluruz. İlk denklemden $(x_{1}x_{2})$ çarpımını bulabiliriz.
\[\frac{c}{a}=(x_{1}x_{2})=\frac{-12}{3}=-4\]
Demek ki yeni denklemin kökler çarpımı\[(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1)=(-4)-(-2)+1=-1\]

$x^2 -Tx + Ç = 0$ de bulduklarımızı yerine koyarsak yeni denklem \[x^2 +4x -1 = 0\] olur.


Biraz daha zor bir örnek:

Örnek


$x^2 -2x+4$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ dir. Kökleri \[ \frac{1}{x_{1}^2} \text{ ve } \frac{1}{x_{2}^2}\] olan denklemi yazınız.

Çözüm


Bu sefer çarpımlarından başlayalım, çünkü daha basit. Yeni denklemin kökler çarpımı
\[ \frac{1}{x_{1}^2}\times\frac{1}{x_{2}^2}=\frac{1}{(x_{1}x_{2})^2} \]
$(x_{1}x_{2})$ verilen denklemden $4$ çıkar. Demek ki kökler çarpımı $\frac{1}{(x_{1}x_{2})^2}=\frac{1}{16}$ dır. Kökler toplamı
\[\frac{1}{x_{1}^2}+\frac{1}{x_{2}^2} =
\frac{x_{2}^2+x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}\]
Sadece $x_{1}+x_{2}$ ve $x_{1}x_{2}$ kullanarak ifade ettik. Bu değerleri zaten verilen denklemden bulabiliyoruz.
$x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2$ ve $x_{1}x_{2}=4$ demek ki yeni denklemin kökler toplamı
\[\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}=\frac{-1}{4}\]
Yeni denklemimiz $x^2 -Tx + Ç = 0$ dan $x^2
+\frac{x}{4} + \frac{1}{16}= 0$ çıkar. Son bir adım kaldı. Genellikle testlerde seçeneklerde katsayılar tam sayı olduğundan denklemi $16$ ile genişletiyoruz.
\[16x^2 +4x + 1= 0\]

Alıştırmalar