İkinci Derece Denklemler-İkinci Derece Denklemler

Kökleri verilen ikinci derece denklem
Kökler toplamı ve çarpımı

Kökleri verilen ikinci derece denklem

Kökleri verilen bir ikinci derece denklemi basit bir şekilde şöyle yazabiliriz. Kökleri

$2$ ve

$3$ olan bir denklem düşünelim:

$(x-2)(x-3)=0$ Bu ifadeyi dağıttığımızda

$x^2-5x+6=0$ çıkar. Burada

$x$ 'in katsayısı

$-5$ in kökler toplamının ters işaretlisine, sabit sayı olan

$+6$ 'nın verilen köklerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edelim. İlerde ispatını yapacağımız gibi, bu her zaman böyle olmak zorundadır. Hemen başka bir örnek yazalım: Kökleri

$1$ ve

$4$ olan denklem

$(x-1)(x-4)=0$ Dağıttığımızda

$x^2-5x+4=0$ çıkar. Gene

$x$ 'in katsayısının ters işaretlisi verilen köklerin toplamına, sabit sayı da çarpımı olan +4'e eşit oldu.

Demek ki kökleri verilen bir denklemin açık halini hemen yazabiliriz. Örneğin kökleri $2$ ve $6$ olan denklemin açık halini yazalım. Kökler toplamı $8$ ve çarpımı $12$ dir. Demek ki denklem

$x^2 - 8x +12=0$

Bir denklemin açık halini hemen yazmak için $x^2 - \textbf{T} x + \textbf{Ç} = 0$ yapmamız yeterli oluyor. $\textbf{T}$ kökler toplamını, $\textbf{Ç}$ ise kökler çarpımını ifade ediyor.)

Şimdi ilk yazdığımız denklemi, $(x-2)(x-3)=0$ , bir sayı ile çarpalım. Örneğin

$5(x-2)(x-3)=0$ Gene bu eşitliği sağlayan

$x$ değerleri

$2$ ve

$3$ tür. Denklemi sabit bir sayı ile çarpınca kökler değişmiyor. Ancak dağıtınca

$5x^2-25x+30=0$ elde ediyoruz. Artık

$x$ in katsayısı kökler toplamını vermiyor. Ancak

$x^2$ nin katsayısına bakıp denklemin kaçla çarpıldığını anlayabiliriz,

$5$ ile. Demek ki

$-25$ i

$5$ e bölmemiz yeterli. Yani eğer

$x^2$ 'nin katsayısı

$1$ değilse, tüm denklemi o sayıya bölersek kökler çarpımını ve toplamını yine görebiliriz.

Kökler toplamı ve çarpımı

Şimdi yazacağımız sonuç artık anlaşılmaktadır:

$ax^2+bx+c= 0$ şeklinde verilen bir denklem için kökler toplamı ve çarpımı ile denklemin

$a,b,c$ katsayıları arasında şu ilişkiler vardır:

$\begin{align*} x_{1}+x_{2} = \frac{-b}{a} && x_{1}\times x_{2} = \frac{c}{a} \end{align*}$

Genel bir ispatı şöyle yapabiliriz: Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan en genel ikinci derece denklem $a \in \mathrm{R}, a \neq 0$ olmak üzere, kolayca anlaşılacağı gibi

$a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)=0$
Bu denklemi dağıtırsak

$a(x^2-x\cdot x_1 - x \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2)$ çıkar. Düzenlersek:

$a [ x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 ]=0$ elde ederiz.

Aşağıdaki denklemlerin açık halini katsayıları tam sayı olacak şekilde

$x^2 - Tx + Ç= 0$ den yararlanarak yazınız. (gerekirse tam sayı olması için denklemi bir sayıyla genişletin)

Kökleri

$-1$ ve

$4$ olan bir denklem

+ cevabı göster

$(x+1)(x-4)=x^2-3x-4=0$

Kökleri

$0$ ve

$1$ olan bir denklem

+ cevabı göster

$(x)(x-1)=x^2-x=0$

Kökleri

$\frac{1}{2}$ ve

$\frac{1}{3}$ olan bir denklem

+ cevabı göster

$6(x-\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})=6x^2-5x+1=0$

Kökleri

$-3$ ve

$-3$ olan bir denklem

+ cevabı göster

$(x+3)(x+3)=x^2+6x+9=0$

Şimdi kökler toplamı ve çarpımı ve katsayılar arasındaki bağlantılardan yararlanan örnekler çözelim

Örnek

$x^2 - 5x + m-1$ denkleminin kökleri

$x_1$ ve

$x_2$ dir.

$2x_1 + x_2 = 4$ olduğuna göre

$m$ kaçtır?

Çözüm

Denklemden

$x_1+ x_2$ değerini okuyabiliriz

$\begin{align*} x_1+ x_2 &= - \frac{b}{a} \\ &= - \frac{-5}{1} = 5 \end{align*}$
Kökler arasında başka bir bağlantı da verilmiş. İki bilinmeyen ve iki denklem var. Ortak çözersek:

$\begin{align*} 2x_1 + x_2 &= 4 \\ x_1 + x_2 &= 5 \end{align*}$

Ortak çözümden $x_1 = -1$ ve $x_2 = 6$ çıkar. Köklerden herhangi birini bulduğumuzda denklemde yerine yazıp $m$ yi bulabiliriz. Örneğin $x_1 = -1$ olduğundan

$x^2 - 5x + m -1 \to (-1)^2 - 5(-1) + m-1 = 0 \to m = -5$

İkinci bir yol şu olabilir. İki kökü de bulduysak kökler çarpımı $x_1 \cdot x_2 = -6$ dır. Bu da $\frac{c}{a}$ olduğundan

$\frac{c}{a} = m-1 = -6 \to m = -5$

Örnek

$x^2 - (m-1) x - 7 = 0$ denkleminin kökleri

$x_1$ ve

$x_2$ dir.

$x_1 - \frac{2}{x_2} = 1$ olduğuna göre

$m$ kaçtır?

Çözüm

Bize verilen ifadeyi biraz düzenleyelim:

$x_1 - \frac{2}{x_2} = \frac{x_1 \cdot x_2 - 2}{x_2} = 1$

$x_1 \cdot x_2$ değerini denklemden okuyalım

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -7$
Bu değeri yerine koyarsak

$\frac{x_1 \cdot x_2 - 2}{x_2} = 1 \to x_2 = -9$
Denklemin bir kökünü bulduğumuza göre denklemde yerine koyduğumuzda denklemi sağlamalı:

$x^2 - (m-1) x - 7 = 0 \to (-9)^2 - (m-1)\cdot -9 - 7 = 0$
Bu denklemin çözümünden

$m = \frac{83}{9}$

Örnek

$x^2 - 6x -p+1 = 0$ denkleminin kökleri

$x_1$ ve

$x_2$ dir.

$x_1^2 - x_2^2 = 12$
olduğuna göre

$p$ kaçtır?

Çözüm

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ olduğundan

$x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$

$x_1 + x_2$ değeri denklemden

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{1} = 6$
Bu değeri yazarsak

$x_1 - x_2 = 2$ çıkar.
İki denklemi altalta toplarsak

$\begin{align*} x_1 + x_2 &= 6 \\ x_1 - x_2 &= 2 \\ 2x_1 &= 8 \\ x_1 &= 4 \end{align*}$

Denklemin bir kökünü bulduğumuza göre denklemde koyduğumuzda sağlamalı

$4^2 - 6 \cdot 4 - p+1 = 0 \to p = -7$

Örnek

$x^2 - (2+k)x + 2k = 0$ denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre

$k$ kaçtır?

Çözüm

Sİmetrik iki kök var demek köklerden biri $a$ ise diğeri $-a$ demektir başka bir deyişle kökler toplamı $0$ dır.

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = 0 \to b=0$
Kökler toplamı

$0$ ise

$b=0$ dır.

$-(2+k) = 0 \to k = -2$

Örnek

$3x^2 - 5x - 4 = 0$ denkleminin kökleri

$x_1$ ve

$x_2$ dir.

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm

Kökler toplamı ve çarpımını verilen denklemden okuyabiliriz. Sorulan ifadeyi düzenlersek:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Verilen denklemden

$\begin{align*} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} = - \frac{-5}{3} = \frac{5}{3} \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} \end{align*}$

Bu değerleri yazarsak

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{-4}{3}} = - \frac{5}{4}$

Yukarıda köklerini bilmeyip kökler toplamı ve çarpımını bilirsek bir denklemi yazabileceğimizi öğrendik. Aşağıda bununla ilgili standart ve çok önemli bir kaç örnek çözülmektedir:

Örnek

$3x^2 + 6x-12$ denkleminin kökleri

$x_{1}$ ve

$x_{2}$ dir. Kökleri

$x_{1}-1$ ve

$x_{2}-1$ olan denklemi yazınız.

Çözüm

Biz yeni bir denklem yazmak istiyoruz. Bu denklemin kökleri

$x_{1}-1$ ve

$x_{2}-1$ . Demek ki yeni denklemin kökler toplamı

$(x_{1}-1)+(x_{2}-1)$ . Yani

$(x_{1}+x_{2}-2)$ yi bulmalıyız. Ilk verilen denklemden

$(x_{1}+x_{2})$ yi bulabiliriz.

$\frac{-b}{a}=\frac{-6}{3}=-2=(x_{1}+x_{2})$
Demek ki kökler toplamı

$(x_{1}+x_{2}-2)=-4$

Aynı şekilde yeni denklemin kökler çarpımı $(x_{1}-1)\times(x_{2}-1)$ dir. Bu ifadeyi dağıtırsak

$(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1)$ buluruz. İlk denklemden

$(x_{1}x_{2})$ çarpımını bulabiliriz.

$\frac{c}{a}=(x_{1}x_{2})=\frac{-12}{3}=-4$
Demek ki yeni denklemin kökler çarpımı

$(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2}) + 1)=(-4)-(-2)+1=-1$

$x^2 -Tx + Ç = 0$ de bulduklarımızı yerine koyarsak yeni denklem

$x^2 +4x -1 = 0$ olur.

Biraz daha zor bir örnek:

Örnek

$x^2 -2x+4$ denkleminin kökleri

$x_{1}$ ve

$x_{2}$ dir. Kökleri

$\frac{1}{x_{1}^2} \text{ ve } \frac{1}{x_{2}^2}$ olan denklemi yazınız.

Çözüm

Bu sefer çarpımlarından başlayalım, çünkü daha basit. Yeni denklemin kökler çarpımı

$\frac{1}{x_{1}^2}\times\frac{1}{x_{2}^2}=\frac{1}{(x_{1}x_{2})^2}$

$(x_{1}x_{2})$ verilen denklemden

$4$ çıkar. Demek ki kökler çarpımı

$\frac{1}{(x_{1}x_{2})^2}=\frac{1}{16}$ dır. Kökler toplamı

$\frac{1}{x_{1}^2}+\frac{1}{x_{2}^2} = \frac{x_{2}^2+x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2}=\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}$
Sadece

$x_{1}+x_{2}$ ve

$x_{1}x_{2}$ kullanarak ifade ettik. Bu değerleri zaten verilen denklemden bulabiliyoruz.

$x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=2$ ve

$x_{1}x_{2}=4$ demek ki yeni denklemin kökler toplamı

$\frac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}=\frac{-1}{4}$
Yeni denklemimiz

$x^2 -Tx + Ç = 0$ dan

$x^2 +\frac{x}{4} + \frac{1}{16}= 0$ çıkar. Son bir adım kaldı. Genellikle testlerde seçeneklerde katsayılar tam sayı olduğundan denklemi

$16$ ile genişletiyoruz.

$16x^2 +4x + 1= 0$

Alıştırmalar

$x^{2}-4x+2=0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ dir. Kökleri bu denklemin köklerinden birer eksik olan denklemi yazınız.

$2x^{2}-6x+1=0$ denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci derece denklemi yazınız.

$x^{2}-8x+25=0$ denkleminin köklerinin aritmetik ortasını birinci kök, geometrik ortasını ikinci kök kabul eden denklemi yazınız.

$3x^{2}-6x+4=0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ dir. Kökleri $1-\frac{1}{x_{1}}$ ve $1-\frac{1}{x_{2}}$ olan denklemi yazınız.

İkinci Derece Denklemler

Delta ve denklemin kökleri

II. derece denkleme çevrilebilen ifadeler