$ f: \, \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $
$f(x)=2x+5$ fonksiyonunun tersi nedir?
Ters fonksiyonu bulmak için
$y=2x+5$ fonksiyonunda $x$ yalnız bırakılır.
\begin{align*}
y&=2x+4 \\
y-4&=2x \\
x&=\frac {y-4}{2} \\
\end{align*}
Sonra $x$ ile $y$'nin yerleri değiştirilir ve
\[ \frac {x-4}{2} \] bulunur.
Ters fonksiyonumuz, \[ f^{-1}(x)=\frac {x-4}{2} \] olur.
$ f: \, \mathbb {R} – \{ 0 \} \rightarrow \mathbb {R} – \displaystyle \{ \frac {1}{5} \}$
\[ f(x)=\frac{5+x}{5x} \] fonksiyonunun tersi nedir?
\begin{align*}
y&=\frac{5+x}{5x} \\
y&=\frac {5}{5x} + \frac{x}{5x}\\
x&=\frac {1}{x} +\frac {1}{5} \\
\frac {1}{x}&= -y+ \frac {1}{5} \\
x&=\frac {1-5y}{5} \\
\end{align*}
Sonra $x$ ile $y$'nin yerleri değiştirilir ve
\[ y=\frac {1-5x}{5} \] bulunur.
Ters fonksiyonumuz, \[ f^{-1}(x)=\frac {1-5x}{5} \] olur.
$ f: \, \mathbb {R} – \displaystyle \{ -\frac{5}{2} \} \rightarrow \mathbb {R} – \displaystyle \{ -\frac {3}{2} \}$ ve $f(x)= \displaystyle \frac{4-3x}{2x+5}$
fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
$ \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}$ şeklindeki fonksiyonların tersinin
$ f^{-1}(x)= \displaystyle \frac{-dx+b}{cx-a}$ şeklinde kolayca hesaplanabildiğini hatırlayalım.
\begin{align*}
f(x)&= \frac{4-3x}{2x+5} \\
f(x)&= \frac{-3x+4}{2x+5} \\
f^{-1}(x)&= \frac{-5x+4}{2x+3} \\
\end{align*}
$ f: \, \mathbb {R} – \displaystyle \{ a \} \rightarrow \mathbb {R} – \displaystyle \{ b \}$ ve $f(x)= \displaystyle \frac{4x+2}{3x-5}$
fonksiyonunu birebir ve örten olduğuna göre, $a\cdot b$ kaçtır?
$f(x)= \displaystyle \frac{4x+2}{3x-5}$ fonksiyonunda paydayı $0$ yapan $ \displaystyle \frac {5}{3}$ değeri için
$x= \displaystyle \frac {5}{3}$ değeri $ ( 3x-5=0 \text { ise } x= \displaystyle \frac {5}{3} ) $ tanımsız olduğundan fonksiyonumuzun tanım kümesi $ f: \, \mathbb {R} – \displaystyle \{ \frac {5}{3} \} $'tür.
Bu durumda $a= \displaystyle \frac {5}{3}$ olur.
$ f^{-1}(x)= \displaystyle \frac{5x+2}{3x-4} $ ters fonksiyonunda da paydayı $0$ yapan $x= \displaystyle \frac {4}{3} $ değeri için
$ ( 3x-4=0 \text { ise } x= \displaystyle \frac {4}{3} ) $ tanımsız olduğundan, görüntü kümemiz de
$ \mathbb {R} – \displaystyle \{ \frac {4}{3} \}$'tür.
Bu durumda $b= \displaystyle \frac {4}{3}$ olur.
\begin{align*}
a\cdot b &= \frac {5}{3} \cdot \frac {4}{3} \\
&=\frac {20}{9}
\end{align*}
$ f:(-\infty, 4) \rightarrow \mathbb {R} – \{ -3 \} $
$f(x)=x^2-8x+13$ fonksiyonun tersi nedir?
II. dereceden bir fonksiyonunun tersini bulmak için tamkare yöntemi uygulamalıyız.
\[ x^2-8x=(x-4)^2-16 \]'ya eşittir.
Bu durumda fonksiyonumuzda $x^2-8x$ yerine $(x-4)^2-16$ ifadesini kullanabiliriz.
\begin{align*}
y=x^2-8x+13 \text{ ise } y&=(x-4)^2-16+13 \\
y&=(x-4)^2-3 \\
y+3&=(x-4)^2 \\
\sqrt{y+3} &= \sqrt{(x-4)^2}\\
\sqrt{y+3} &= |x-4| \\
\end{align*}
Fonksiyonumuzun tanım kümesi $(-\infty,4) $ olduğu için $x\lt 4$'tür.
Bu durumda $x\lt 4$ için $|x-4|=4-x$'tir.
\begin{align*}
\sqrt{y+3} &= 4-x \\
x&=4- \sqrt{y+3}
\end{align*}
$x$ ile $y$'nin yerlerini değiştirirsek
$f^{-1}(x)=4-\sqrt{x+3} $ olur.
$ f: \, \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} $
$f(x)= \sqrt[3]{x-5}$ fonksiyonun tersi nedir?
\begin{align*}
f(x)= \sqrt[3]{x-5} \rightarrow y&=\sqrt[3]{2x-3} \\
y^3&=x-5 \\
x&=y^3+5 \\
\end{align*}
Bu durumda $f^{-1}(x)=x^3+5$'tür.
