Ters Fonksiyon Tanımı
Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun yaptığı tüm eşlemeleri ters çevirir. Örneğin f(3)=5 ise fonksiyon 3 ü 5 e eşliyordur. Bu durumda tersinin de 5 i 3 e eşlemesi gerekir. Eski değer kümesi şimdi tanım ve tanım kümesi de değer kümesi olur. Fonksiyonun tersi f^{-1} sembolü ile gösterilir.
f:A\rightarrow B \text{ ise } f^{-1}:B \rightarrow A
f^{-1} in fonksiyon olabilmesi için f in birebir-örten olması gerekir. Örten olmazsa görüntü kümesinde boşta eleman kalacaktır. Görüntü kümesi ters fonksiyonun tanım kümesi olacağından fonksiyon olmanın birinci şartı çiğnenmiş olur. Bire-bir olmazsa ters çevir-
diğimizde tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde birden fazla elemana eşleşeceğinden fonksiyon olmanın ikinci şartı da ihlal edilecektir.
Ters Fonksiyon Bulunuşu: Doğrusal, İkinci derece, Köklü, Rasyonel ve Permütasyon
Bir fonksiyonun tersinin alınması için:
- x yalnız bırakılır
- x yerine f^{-1}(x) ve f(x) yerine x yazılır.
* Doğrusal Fonksiyonların Tersi
Örnek
f(x)=2x+3 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
f(x) =2x+3 \Rightarrow \frac{f(x)-3}{2}= x \Rightarrow \frac{x-3}{2}= f^{-1}(x)
İlk adımda x yalnız bırakıldı. İkinci adımda da x ve f(x) yer değiştirdi ve f yerine f^{-1} yazıldı. Daha iyi anlamak için bir sayı değerine bakalım.
f(x)=2x+3\Rightarrow f(3)=2.3+3=9
f fonksiyonu 3'ü 9'a eşliyor. Fonksiyonun tersinin de 9'u 3'e götürmesini bekliyoruz.
f^{-1}(x){\frac{x-3}{2}}\Rightarrow f^{-1}(9)=\frac{9-3}{2}\Rightarrow f^{-1}(9)=3
* İkinci Derece Fonksiyonların Tersi
f(x)=ax^2+bx+c şeklindeki fonksiyonların tersi alınırken tamkare hale getirme yolu kullanılır. Önce a nın 1 olduğu durumu düşünelim:
Örnek
f(x)=x^2-4x+7 fonksiyonunun tersi nedir?
Çözüm
İlk iki terim x^2-4x=(x-2)^2-4 tür.
\begin{align*} y = x^2-4x+7 &= (x-2)^2-4+7\\ &= (x-2)^2+3 \\ y-3 &=(x-2)^2 \\ \sqrt{y-3} &=(x-2) \\ x &= \sqrt{y-3}+2 \\ f^{-1}(x) &=\sqrt{x-3}+2 \end{align*}
a nın 1 olmadığı durumu a parantezine alıp hallediyoruz.
Örnek
f(x)=2x^2-3x+1 fonksiyonunun tersi nedir?
Çözüm
\begin{align*} y = 2x^2-3x+1 &= 2(x^2-\frac{3}{2}x +\frac{1}{2})\\ \frac{y}{2} &= x^2-\frac{3}{2}x +\frac{1}{2} \\ &= (x-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16} + \frac{1}{2} \\ \frac{y}{2}+\frac{1}{16} &= (x-\frac{3}{4})^2\\ \sqrt{\frac{y}{2}+\frac{1}{16}} &= x-\frac{3}{4}\\ \sqrt{\frac{y}{2}+\frac{1}{16}}+\frac{3}{4} &= x\\ \end{align*}
f^{-1}(x)= \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{1}{16}}+\frac{3}{4}
* Köklü Fonksiyonların Tersi
Bu fonksiyonlarda ters alınırken köklü ifade yalnız bırakılıp iki tarafın karesi alınır.
Örnek
f(x)={\sqrt{x}+2} fonksiyonunun tersini alınız.
Çözüm
\begin{align*}f(x)&={\sqrt{x}+2}\\ f(x)-2&=\sqrt{x} &\textit{köklü ifadeyi yalnız bıraktık} \\ (f(x)-2)^2&=(\sqrt{x})^2 & \textit{Her iki tarafın karesi}\\ x&=(f(x)-2)^2 & \textit{x'i yalnız bıraktık}\\ f^{-1}(x) &={(x-2)^2} & \textit{$x$ yerine $f^{-1}(x)$ ve $f(x)$ yerine $x$ koyduk} \end{align*}
Örnek
f(x)={\frac{\sqrt{x-2}+5}{2}} fonksiyonunun tersini bulunuz
Çözüm
\begin{align*} 2f(x)&= \sqrt{x-2}+5 \\ 2f(x)-5 &= \sqrt{x-2}\\ [2f(x)-5 ] ^2 &= x-2\\ [2f(x)-5]^2+2 &= x \end{align*}
Buradan f^{-1}(x)=(2x-5)^2+2 çıkar.
* \displaystyle\frac{ax+b}{cx+d} şeklindeki fonksiyonların tersi
Bu tip fonksiyonlarda x'i çekmek çok zor olduğu için şöyle bir formül çıkaracağız:
\begin{align*} y &=\frac{ax+b}{cx+d} \Rightarrow\\ ycx+yd &= ax+b\\ ycx-ax &= b-yd \\ x(yc-a) &= b-yd \\ x &= \frac{-dy + b}{yc - a} \Rightarrow \\ f^{-1}(x) &= \frac{-dx+b}{cx-a} \end{align*}
Formül şu:
f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad\Rightarrow\qquad f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}
Paydaki x'in katsayısı ile paydadaki sabit sayı hem yer hem de işaret değiştiriyor. Dikkat edeceğimiz bir şey hem pay hem de paydanın mx+n şeklinde yazılmış olması.
Örnek
f(x)=\displaystyle\frac{3x-8}{x-2} fonksiyonunun tersi nedir?
Çözüm
Formülü uygularsak f^{-1}(x)=\displaystyle\frac{2x-8}{x-3}
Örnek
f(x)=\displaystyle\frac{3-2x}{x-2} fonksiyonunun tersi nedir?
Çözüm
Payı düzeltmemiz gerektiğine dikkat edelim. Önce
f(x)=\displaystyle\frac{-2x+3}{x-2} şekline getirip sonra formülü uygularsak
f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{x+2}
Örnek
f(x)=\displaystyle\frac{3}{2x-4} fonksiyonunun tersi nedir?
Çözüm
Burada da payı 0.x+3 kabul edeceğiz.
f(x)=\frac{0.x+3}{2x-4}\qquad\Rightarrow\qquad f^{-1}(x)=\frac{4x+3}{2x}
Bileşke
Fonksiyonlarda bileşke işlemi bir fonksiyondan çıkan değeri diğer fonksiyonun içine atarak gerçekleşir. Bir fonksiyondan çıkan görüntü diğer fonksiyon için tanım kümesi elemanıdır. Örneğin f \circ g(x) gösteriminde önce x in ilk fonksiyon g de görüntüsü bulunur ve bu g(x) tir. Çıkan görüntünün f de görüntüsü bulunur ve bu da f(g(x)) tir. f bileşke g şuna eşittir
f \circ g (x) = f(g(x))
Örneğin f(x) = 3x+2 ve g(x) = x-1 ise f \circ g(-1) i bulmaya çalışalım
f \circ g(-1) = f(g(-1))
Önce g(-1) i bulacağız ve bulduğumuz değeri f ye koyacağız.
g(-1) = -2 ve f(g(-1)) = f(-2) = -4
Örnekten de anlaşılacağı gibi bileşkede işler sağdan sola doğru işliyor. f \circ g de önce g(x) bulunuyor daha sonra bulunan değeri f alıp görüntüsünü buluyor.
Bileşke fonksiyonun ifadesi için de sağdaki fonksiyon solda x yerine konur. Örneğin yukarıda verilen fonksiyonlar için
f \circ g(x) = (3x+2) \circ (x-1) = 3(x-1) + 2 = 3x-1
Örnek
f(x) = 3x + 5 ve g(x) = 2x - 8 ise
- f \circ g (2)
- f \circ f (-1)
- g \circ g (1)
- g \circ f(0)
Çözüm
\begin{align} f \circ g(2) &= f(g(2)) \\ g(2) &= 2 \cdot 2 - 8 = -4 \\ f(g(2)) &= f(-4) = 3 \cdot -4 + 5 = -7 \end{align}
\begin{align} f \circ f(-1) &= f(f(-1)) \\ f(-1) &= 3 \cdot (-1) + 5 = 2 \\ f(f(-1)) &= f(2) = 3 \cdot 2 + 5 = 11 \end{align}
\begin{align} g \circ g(1) &= g(g(1)) \\ g(1) &= 2 \cdot (1) - 8 = -6 \\ g(g(1)) &= g(-6) = 2 \cdot -6 - 8 = -20 \end{align}
\begin{align} g \circ f(0) &= g(f(0)) \\ f(0) &= 3 \cdot (0) + 5 = 5 \\ g(f(0)) &= g(5) = 2 \cdot 5 - 8 = 2 \end{align}
Bileşkenin özellikleri
- birleşme özelliği: (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)
- f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = I
- (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}
- değişme özelliği yoktur: f \circ g =? g \circ f