• ders
• video
• test

Sıralama sorularında $a=\log_2 5$ gibi bir ifade de $a$ nın hangi iki tam sayı arasında olduğunu, ifadenin üstel eşitini yazarak yapmıştık. $2^a = 5$ ifadesinde $2\[ 2^{\frac{5}{2}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} =4\sqrt{2} \]
$\sqrt{2}$ değeri yaklaşık $1,4$ olduğundan $2^{\frac{5}{2}}$ değeri $5,6$ gibi bir değerdir ve $2^a$ dan büyüktür. $a$ tam olarak kaçtır, ya da ne kadar yaklaşabiliriz ve bunun yolları nelerdir, bunlar konumuzun dışında, ancak logaritmanın çıkış sebebi ve ilk kullanımı aslında kolay çarpma yapabilmek içindir. Örneğin $1$ den $10$ a kadar sayıların $10$ tabanında logaritmasını belli bir yaklaşıklıkla hesapladığımızı düşünelim ve bir tabloda gösterelim. ?

$x$ | $Log (x)$
------------- | -------------
10 | 1
9 | 0.95422
8 | 0.90308
7 | 0.84505
6 | 0.77814
5 | 0.69894
4 | 0.60205
3 | 0.4771
2 | 0.30096
1 | 0.0

Örneğin $2$ ile $3$ ü çarpacağımızı düşünelim. Bu sayıları çarpmaktansa sonucun
logaritmasını hesaplayabiliriz.
\[ \log(2\cdot 3)= \log 2 + \log 3 =0.30096+0.4771 = 0.77806 \]
Cetvele baktığımızda $6$ nın logaritmasına çok yaklaştığımızı görürüz. Sonuç $6$ ya yakın olmalıdır :)

Tabii ki logaritmayı böyle komik bir çarpma için kullanmıyoruz, örneğin $64$ le $243$ ün çarpımı için kullanalım.
\[ \log 64 \cdot 243 = \log 2^6 + \log 3^5 = 6 \log 2 + 5 \log 3 \]
$6 \log 2 + 5 \log 3$ değeri tabloya bakarak hesaplarsak kabaca $4.2$ dir. İşte logaritmanın asıl işe yaradığı nokta burasıdır. $4$ ü kullanmak zorunda değiliz. Logaritması $0.2$ olan sayıya bakmamız yeterli, tablo çok kaba olduğu için ancak $2$ nin logaritmasının yaklaşık $0.3$ olduğunu ve aradığımız sayının bundan küçük olduğunu görürüz. Daha hassas bir cetvelde bu sayının $1.6$ ya yakın olduğunu görebilirdik. Neden $4$ önemli değil ve ondalık kısmın $1.6$ nın logaritması olduğunu öğrendikten sonra hesaba nasıl devam edeceğiz ?
Logaritması $4$ olan sayı $10^4$ tür. Logaritması $5$ olan sayı da $10^5$ tir. Demek ki sayımız bu sayılar arasında ve $5$ basamaklı. Ayrıca $\log(10^4 \cdot x )= 4 + \log x = 4.2$ olduğundan tüm yapmamız gereken $10^4$ ile logaritması $0.2$ olan sayıyı yani $1.6$ yı çarpmak. Bu durumda sonuç $16000$ olur. Gerçek sonuç $15552$. Örneğin $7^5 \cdot 2^7 \cdot 3^7$ işleminin sonucunu hesaplamaya çalışalım. \[ \log 7^5 \cdot 2^7 \cdot 3^7 = 5 \log 7 + 7 \log 2 + 7 \log 3 =5 \cdot 0.84 + 7 \cdot 0.3 + 7 \cdot 0.48 = 9.66 \] Bir kez daha vurgularsak elde ettiğimiz logaritma ancak $10^9$ ile $10^{10}$ arasındaki sayılarda olabilir. Çünkü $\log 10^9 =9$ ve $\log 10^{10} = 10$ dur. Ayrıca $\log 10^9 \cdot x = 9
+ \log x = 9.66$ olduğundan logaritması $0.66$ olan sayıyı bulup $10^9$ ile çarpmamız yeterli. Tablomuz kaba olduğundan bu sayının $5$ e yakın olduğunu görüyoruz. Ancak gene daha iyi bir logaritma cetvelinde bu sayının $4.58$ e daha yakın olduğu görünür. Demek ki çarpmanın sonucu $4.58 \cdot 10^9$ dur. Tam cevap $4704884352$ dir. On beş saniyede yapabileceğimiz bir işlemle doğru cevaptan sadece $ \% 3$ uzaktayız.

* Bir sayının logaritmasının tam kısmına karakteristik
* Bir sayının logaritmasının ondalık kısmına da mantis denir.

Karakteristik verili tabanın kaçıncı üssünde olduğumuzu belirtir. Bir sayının onluk tabanda logaritmasının karakteristiği, o sayının onluk tabanda kaç basamakla yazılacağını gösterir. Karakteristiğin bir fazlası basamak sayısıdır. Onluk tabanda üç basamaklı sayıların ilkini düşünelim $100$. $\log 100 = 2$ dir. Onluk tabanda dört basamaklı sayıların ilki $1000$ dir ve logaritması $3$ tür. Demek ki logaritması $2$ ile $3$ arasındaki sayılar $100$ ile $1000$ arasındadırlar ve üç basamaklıdırlar.