En sık karşılaşacağımız tabanlar $2,3,5,10$ gibi üslerine daha önceden alışık olduğumuz sayılar olacak. Üslü sayılarda çarpma yaparken tabanlar eşitken üsler toplanıyordu. Bunun doğal bir uzantısı logaritmada şudur:
\[ \log_b x\cdot y = \log_b x + \log_b y \]
Örneğin $ \log_2 2^8=8$ dir. Ancak içeriyi şöyle parçalayalım:
\[ \log_2 2^3 \cdot 2^5= \log_2 2^3 + \log_2 2^5 = 3+5=8\]
İçerideki çarpanların ayrı ayrı logaritmalarını alıp toplayabiliriz. Ancak özellik şu değil \[ {\log x \cdot \log y = \log (x+y)}\]
Bu arada yukarıda taban yazmadık, eğer taban yazılmazsa $10$ dur, $10$ tabanında logaritma basit ya da adi logaritma adıyla anılır. $\log 3$ yazılmışsa $\log_{10} 3$ yazılmıştır. Logaritma içindeki çarpanların ayrı logaritmaların toplamı haline getirilmesinden şu kural da çıkar: \[ \log_b x^y = y \log_b x\]
Logaritma içindeki sayının üssü, dışarı çarpan olarak düşer, diyebiliriz. İki sayı bölme halinde ise bunlar da çıkarma şeklinde iki logaritmaya dağıtılabilir:
\[ \log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y \]
Tabanın üssü dışarı bölme olarak düşer: \[ \log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x \]
Bu özellikleri kullanan en tipik ve temel sorulardan bir kaç tane çözelim.
Örnek
Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız.
- $\log_2 32 $
- $\log_4 8$
- $\log_{16} 4$
- $\log \sqrt{10}$
- $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9}$
- $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 25$
Çözüm
- $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$
- $\log_4 8=\log_{2^2}2^3 = \frac{3}{2}\log_2 2 =\frac{3}{2}$
- $\log_{16} 4 = \log_{2^4} 2^2 = \frac{2}{4} \log_2 2 = \frac{1}{2}$
- $\log \sqrt{10} = \log 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log 10 =
\frac{1}{2}$ - $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{9} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-2}} =
\frac{-2}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = -4$ - $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 25 = \log_{5^{\frac{-1}{2}}} 5^2
= \frac{2}{\frac{-1}{2}}=-4$
Örnek
$\log 2= a$ ve $\log 3 =b$ ise $\log 72$ nin $a$ ve $b$ türünden değeri nedir?
Çözüm
$72$ yi çarpanlarına ayıralım ve çarpanların ayrı logaritmalara dağıtarak üsleri dışarı çarpan olarak düşürelim: \[ \log 72 = \log 2^3 \cdot 3^2 = \log 2^3
+ \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3 = 3a+2b \]
Örnek
$\log 2 = a$ ise $\log 25$ in $a$ cinsinden değeri nedir?
Çözüm
Burada ileride de gerekecek bir çıkarım yapacağız. $\log 2 $ verilmişse $2$ yi tabana eşitleyen çarpan da yani $\log 5$ de verilmiştir [note1]Taban yazılmadığında $10$ idi.[/note]
Başka bir tabanda örnek verirsek $\log_{14} 7 = a$ verilmişse $\log_{14} 2$ yi de $a$ cinsinden bulabiliriz. Taban ve içerisi eşit olduğunda cevap $1$ idi, $\log 10 = 1$.
\[ \log 10 = \log 2 \cdot 5 = \log 2 + \log 5 = 1\]
Dolayısıyla $\log 2 = a $ ise $\log 5 = 1-a$ olur. Soruda $\log 25$ soruluyor:
\[ \log 25= \log 5^2 = 2\log 5 = 2(1-a) \]
Logaritmanın üstel fonksiyona dönüştürülmesi ile çözülecek basit bir örnek de şudur:
Örnek
\begin{align*}
a &= \log_2 3\\ b &= \log_5 26 \\ c &= \log_3 2
\end{align*}
ise $a,b,c$ yi büyükten küçüğe sıralayınız.
Çözüm
Logaritmayı tanımlarken şu özdeşliğe dikkat çekmiştik: \[ \log_b a = c
\Rightarrow b^c = a\]
Bu durumda
\begin{align*}
a &=\log_2 3 \Rightarrow 2^a = 3 & 1 \lt &a \lt 2 \\
b &=\log_5 26 \Rightarrow 5^b = 26 & 2 \lt &b \lt 3 \\
c &=\log_3 2 \Rightarrow 3^c = 2 & 0 \lt &c \lt 1
\end{align*}
$b \gt a \gt c$