Tanım ve Özellikler


Bir sayının belli bir tabandaki logaritması, bu sayıyı üretmek için tabanın kaçıncı üssünü almamız gerekiyorsa odur. Örneğin $100$ ün $10$ tabanında logaritması $2$ dir. Çünkü tabanın $2$ nci üssü ile verilen sayı eşittir. Aynı şekilde $8$ in $2$ tabanındaki logaritması $3$ tür. Logaritma fonksiyonunu,logaritması alınan sayı $x$, taban $b$ ve cevap da $y$ olmak üzere aşağıdaki gibi gösteriyoruz:
\[ \log_b x = y \]
Yukarıdaki örneklerde verilenleri, kullanılan notasyonla yazarsak \[ \log_{10}
100 =2 \qquad \log_2 8 =3 \]

Fonksiyonun tanımından şu özdeşlik çıkmaktadır:
\[ \log_b x = y \Rightarrow b^y = x\]
Logaritması alınacak sayı tabanın bir üssü ise işimiz kolay. Cevap direk bu üs oluyor. Örneğin $\log_3 9$ un cevabı sorulduğunda, $3$ ün hangi üssü $9$ a eşittir diye sormamız gerekiyor, Verilen sayı $3$ ün bariz bir üssü olduğundan cevap $2$ dir. Bu durumda şöyle bir kural çıkarabiliriz: \[ \log_b b^x=x \]
Fonksiyonun tanımı üzerinde biraz daha düşünelim. Bir sayı ve taban veriliyor ve tabanın kaçıncı üssü verilen sayıya eşit bunu düşünüyoruz. Öncelikle, sadece kullanışlılık açısından bile, taban, pozitif olmak durumundadır. Çünkü negatif sayıların üsleri devamlı işaret değiştiriyor ve ilerde göreceğimiz gibi, üs, tam sayı olmak durumunda değil, negatif sayıların tam sayı olmayan üsleri, reel olmayan sayılar da ortaya çıkarıyor. Yani sonucun reel olması için taban hep pozitif olmalı.

Tabanın bir üssünü, verilen sayıya eşitlemeye çalıştığımız için, tabanın $1$ olmasının bir anlamı yok, $1$ in her üssü $1$. Taban pozitif ise logaritması sorulan sayı da pozitif olmak durumundadır, çünkü pozitif bir sayının üssü daima pozitiftir.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı ve reel sayı üretiyor olması için gereken
koşullara ulaştık, taban $b$ ve logaritması sorulan sayı $x$ olmak üzere
elde ettiklerimiz:\[ b \gt 0 \qquad b\neq
1 \text{ ve } x \gt 0\]

Konunun kendisi basit olduğu için genellikle diğer konuları da içerecek sorularla karşılaşırız. Örneğin taban ve logu alınan sayı hakkında yukarıda söylenenler, ikinci derece denklemler ve eşitsizlikler konusunu dahil etmek için çok uygundur.

Örnek


$\log_{x^2-1}x^2-x-2$ fonksiyonunun tanımlı olduğu en geniş aralık nedir?

Çözüm


Üç bilgimiz var: taban ve içerisi pozitif olacak ve taban $1$ e eşit olmayacak.
\begin{align*}
x^2-1 & \gt 0 \\ x^2-1 &\neq 1 \\ x^2-x-2 & \gt 0
\end{align*}
Bildiğimiz gibi \[ ax^2+bx+c \] şeklindeki ikinci derece bir ifade, kökler arasında $a$ ile ters, kökler dışında $a$ ile aynı işaretli idi.
\[ x^2-1 \gt 0 \Rightarrow x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)\]
$x^2-1 \neq 1$ eşitsizliğinden $x\neq \pm \sqrt{2}$ çıkar. Bu değerler diğer
eşitsizliklerin çözüm kümesinde bulunursa atacağız.
\[ x^2-x-2= (x-1)(x+2) \gt 0 \Rightarrow x\in (-\infty,-2) \cup (1,\infty) \]
Bulduğumuz çözüm kümelerini kesiştirirsek:
\[ (-\infty,-2) \cup (1,\infty)-\{ \sqrt{2} \} \]

Örnek


$\log_{\sqrt{x-2}}-x^2+3x$ fonksiyonunun tanımlı olduğu en geniş aralık nedir?

Çözüm


Taban reel sayı olduğundan kareköklü ifadenin içi negatif olamaz.
\[ x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \]
Taban pozitif olmak zorunda, $2$ yi atmalıyız: $x \gt 2$
\begin{align*}
\sqrt{x-2} &\neq 1 \qquad x \neq 3 \\
-x^2+3x=-x(x-3) & \gt 0 \qquad x \in (0,3)
\end{align*}
Tüm ifadelerin çözüm kümelerini kesiştirdiğimizde: \[ x \in (2,3) \]