Çözüm

Sağ tarafı da $2$ tabanında bir logaritma olarak yazarsak. $\log_2 2^3 = 3$.
\begin{align*}
\log_2 (x^2+2x) &= \log_2 2^3\\
x^2+2x &= 8\\
x^2+2x-8 &= 0\\
(x+4)(x-2) &= 0
\end{align*}
Bu durumda $x_1=-4$ ve $x_2=2$ olur. Ancak soruda verilen logaritmanın tanımlı olmasını sağlamak zorundayız. İçerisi hep pozitif olmalı:
\[ x^2+2x \gt 0\Rightarrow x \gt 0 \text{ veya } x \gt -2 \]
Bulunan iki çözüm de tanım kümesi içindedir.

Çözüm

Önce tanım aralıkları ile başlayalım: $x \gt 0$ ve $x+3 \gt 0 \Rightarrow x \gt -3$, iki logaritmanın da tanımlı olabilmesi için $x \gt 0$ olmalıdır. \[ \log x + \log (x+3) = \log x (x+3)=1 \]
\begin{align*}
x(x+3) &= 10\\
x^2+3x-10 &= 0\\
(x-2)(x+5) &= 0\quad x=2 \text{ veya } x=-5
\end{align*}
Tanım aralığı $x \gt 0$ olduğundan çözüm $x=2$ dir.

Çözüm

Önce tanım aralıkları ile başlayalım
\[ x \gt 0 \quad x-1 \gt 0 \text{ ve } x+1 \gt 0\]
Tüm bu şartlara uyan ortak tanım kümesi $x \gt 1$

\begin{align*}
\log 2 + \log x - \log(x-1) &= \log x + \log (x+1)\\
\log\frac{2x}{x-1} &= \log x (x+1) \\
\frac{2x}{x-1} &= x(x+1) & \textit{$x$ ler sadeleşirken $x=0$ ın denklemi
sağladığına}\\ \frac{2}{x-1} &= x+1 & \textit{ancak tanım kümesinde olmadığına
dikkat edelim}\\ x^2-1 &= 2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}
\end{align*}
$x=-\sqrt{3}$ tanım kümesinde değildir. Ancak $\sqrt{3} \gt 1$ olduğundan tek çözüm $x=\sqrt{3}$ tür.

Çözüm

Tanım kümeleri: $x \gt 0$, $9x^2 \gt 0$ ve $2-5x \gt 0$. Tüm şartları sağlayan çözüm kümesi
\[ 0 \lt x \lt \frac{2}{5}\]
$\log_4 9x^2$ ifadesini $2$ tabanında yazmalıyız.
\[ \log_{2^2} 9x^2 = \frac{1}{2}\log_2 9x^2 = \log_2 (9x^2)^{\frac{1}{2}}\]
Aynı şekilde
\[ \frac{\ln (2-5x)}{\ln 2} = \frac{\frac{\log (2-5x)}{\log e}}{\frac{\log 2}{\log e}} = \log_2 (2-5x)\]
\begin{align*}
\log_2 x + \log_4 9x^2 &= \frac{\ln (2-5x)}{\ln 2}\\
\log_2 x + \log_2 3x &= \log_2 (2-5x) \\
\log_2 3x^2 &= \log_2 (2-5x) \\
3x^2 &=2-5x\\
3x^2 +5x-2 &= 0\\
(3x-1)(x+2) &= 0 \quad x_1=\frac{1}{3} \text{ ve } x_2 = -2
\end{align*}
Tanım kümesine uyan çözüm $x=\frac{1}{3}$ tür.

Çözüm

$2^{\log_2 a} = a$ özelliğinden yararlanacağız.
\[ \log_4 (x-1) = \log_{2^2} (x-1)= \frac{1}{2} \log_2 (x-1) = \log_2 \sqrt{x-1}\]

\begin{align*}
2^{\log_4(x-1)} &= x-3 \\
2^{\log_2 \sqrt{x-1}} &= x-3 \\
\sqrt{x-1} &= x-3
\end{align*}

Açıkça görüldüğü gibi ifadeyi sağlayan $x$ değeri $5$ tir.

?

Bazen tabanla da oynamak gerekebilir. Taban ve üste bulunan logaritmanın tabanı
aynı asal sayının (genellikle $2$ ve $3$ ün) üssü olabilir.

Çözüm

\begin{align*}
(2^3)^{\log_{2^6}x^4} &= 2^{3\cdot\log_{2^6}x^4} & \textit{üssün üssü
çarpılır}\\
&= 2^{3 \cdot \frac{4}{6}\cdot\log_{2}x} \\
&= 2^{2\cdot\log_{2}x}= 2^{\log_{2}x^2} & \textit{dışarıdaki çarpanı üs olarak
içeri attık}\\
&= x^2
\end{align*}
Verilen denklem $x^2=x+6$ ya dönüştü. Bu denklemin çözüm kümesi
$\text{Ç}=\{-2,3\}$ tür.

Çözüm

$\ln x=t$ dönüşümü yaparsak denklem \[ t^2-t-2=0 \Rightarrow t_1=-1 \quad
t_2=2\]
?

Bulduğumuz $t$ değerleri çözüm kümesi değil. Neye $t$ dediysek tekrar ona dönüp bu değerleri yerleştirmeliyiz.

• $\ln x = -1 \Rightarrow x= e^{-1}$


• $\ln x=2 \Rightarrow x=e^2$

Çözüm

$\ln x^2$ ifadesinde $x$ in üssü $2$ dir. Ancak $\ln^3 x$ te tüm $\ln x$ in kübü alınmaktadır. $\ln^3 x = (\ln x)^3$ tür. $\ln x = t$ dersek
\begin{align*}
\ln^3 x - \ln x^2 &= 0 \\
(\ln x)^3 - 2 \ln x &= 0 \\
t^3-2t &= 0 \\
t(t^2-2)&=0
\end{align*}
Son denklemin üç kökü de reeldir ve $t_1=0, t_2 = \sqrt{2}\text{ ve }t_3=-\sqrt{2}$ olur.

• $\ln x = 0 \Rightarrow x=1$


• $\ln x = \sqrt{2} \Rightarrow x=e^{\sqrt{2}}$


• $\ln x = -\sqrt{2} \Rightarrow x=e^{-\sqrt{2}}$

Çözüm

Önce $x$ i $\log$ dışına düşürelim
\[ \log_2 a= x \log_5 a\]
Logaritmaları tabanı $10$ yapacak şekilde iki logaritmaya ayırırsak
\[ \frac{\log a} {\log 2} = x \frac{\log a}{\log 5}\]
$\log a$ lar sadeleşir ve $x= \frac{\log 5}{\log 2}$ ya da istenirse $\log_2 5$ çıkar.

Üstel denklemlerin çözümünde logaritma $x$ i çekmek için kullanılır. Bu yöntem aslında üstel fonksiyonun tersini alma prosedürü ile aynıdır. Örneğin $f(x)=a^x$ in tersi için
\begin{align*}
f(x) &= a^x \\
\log_a f(x) &= \log_a a^x\\
\log_a f(x) &= x\\
\log_a x &= f^{-1} x
\end{align*}

Çözüm

İki tarafın $3$ tabanında logaritmasını alırsak $x$ i aşağı indirmiş oluruz.

\begin{align*}
3^{2x-1} &= 2\\
\log_3 3^{2x-1} &= \log_3 2\\
2x-1 &= \log_3 2 \\
x &= \frac{1+\log_3 2}{2}
\end{align*}

Çözüm

\begin{align*}
3^{x-1} &= 2^{x+2}\\
\frac{3^x}{3} &= 2^x\cdot 2^2 \\
\frac{3^x}{2^x} &= \frac{4}{3} \\
\log_{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2})^x &= \log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3} \\
x &= \log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}
\end{align*}

Çözüm

$2^x=t$ ise $4^x = t^2$ olur. ?

Denklem: \[ t^2 - 4t +3 = (t-1)(t-3)=0 \Rightarrow t_1=1, t_2=3 \]

• $2^x =1 \Rightarrow x=0$


• $2^x = 3 \Rightarrow x=\log_2 3$

Çözüm

$e^x=t$ olsun.
\[ t^2 - t-2 = (t-2)(t+1) = 0 \Rightarrow t_1=2, t_2=-1\]

• $e^x=2 \Rightarrow x= \ln 2$


• $e^x = -1$ olamaz.

Çözüm

Her iki tarafın doğal logaritmasını alırsak:

\begin{align*}
\ln (x^{\ln x}) &= \ln x\\
\ln x \cdot \ln x &= \ln x & \textit{üssü log dışını düşürdük}\\
t^2 - t &= 0 & \textit{$\ln x = t$ dönüşümü}\\
\end{align*}

Son denklemde $t_1=1$ ve $t_2=0$ dır.
$\ln x =1 \Rightarrow x = e$ ve $\ln x =0 \Rightarrow x=1$.
Çözüm kümesi $\text{Ç} = \{1,e\}$

Çözüm

$\ln x = a$ olsun, bu durumda $x=e^a$ dır. Bunları verilen denklemde yazarsak:

\begin{align*}
2^{2+\ln x} - 3 x^{\ln 2} &= 2^2 \cdot 2^{\ln x} - 3 x^{\ln 2}\\
&= 4\cdot 2^{a} - 3 (e^a)^{\ln 2}\\
&= 4\cdot 2^{a} - 3 (e)^{\ln 2^a} \\
&= 4\cdot 2^{a} - 3 \cdot 2^a= 2^a
\end{align*}

Verilen denklemde sol taraf $2^a$ ya eşitmiş.
\[ 2^a = 2^{-1} \quad a=-1\]
$a=\ln x $ idi. $\ln x = -1 \Rightarrow x=e^{-1}$ olur.

\[ \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \] özelliği de ikinci derece denkleme çevrilebilen ifadeler üretebilir.

Çözüm

$\log_2 x = t$ ise $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} = \frac{1}{t}$ olur.

\begin{align*}
\log_2 x - 3\cdot \log_x 2 &= 2 \\
t - \frac{3}{t} &= 2\\
\frac{t^2 - 3}{t} &= 2\\
t^2-2t-3 &= 0 \\
(t-3)(t+1) &= 0
\end{align*}

Buradan $t_1= 3$ ve $t_2=-1$ olur. $t=\log_2 x = 3$ ise $x=2^3=8$ ve aynı şekilde $\log_2 x = -1$ ise $x=\frac{1}{2}$