Örnek


$x \in \mathbb{R} $ ve $n \in \mathbb{N} $ olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi her zaman polinomdur?

  1. $ P(x)=2x^{n+2} -2x^{n-3}+3x-2 $
  2. $ P(x)=x^{n} +x^{\textstyle \frac{3n}{4}}+2 $
  3. $ P(x)=x^{n+1} +2x^{\textstyle \frac{n}{3}}-2 $
  4. $ P(x)=x^{3} -2x^{n+1}+4 $
  5. $ P(x)=\sqrt[4]{x^{2n}} $



Çözüm



  1. $ P(x)=2x^{n+2} -2x^{n-3}+3x-2 $ doğru değil, çünkü $n$ yerine $1$ koyarsak ifade $2x^{3} -2x^{-2}+3x-2 $ olur, bir polinomun herhangi bir teriminin üssü negatif olamaz, doğal sayı olmalıdır.
  2. $ P(x)=x^{n} +x^{\textstyle \frac{3n}{4}}+2 $ bu şıkta da $n$ yerine $1$ koyarsak ikinci terimin üssü $\frac{2}{3}$ olur, üs doğal sayı olmadığı için polinom olamaz.
  3. $ P(x)=x^{n+1} +2x^{\textstyle \frac{n}{3}}-2 $ $n$ yerine $1$ koyarsak ikinci terimin üssü yine doğal sayı olmuyor.
  4. $ P(x)=x^{3} -2x^{n+1}+4 $ doğru cevap $d$ şıkkı, $n$ yerine ne koyarsak koyalım üsler doğal sayı oluyor.
  5. $ P(x)=\sqrt[4]{x^{2n}} $ $n$ yerine $5$'in katları hariç ne koyarsak koyalım üs doğal sayı olmuyor, eğer ifade $\sqrt[5]{x^{5n}}$ veya $\sqrt[5]{x^{10n}}$ gibi bir şey olsaydı dışarı $x^n$ veya $x^{2n}$, $n$ yerine bir doğal sayı koyduğumuzda üs de doğal sayı olarak çıkacaktı ve ifade bir polinom olacaktı.

Örnek


$P(x)= x^{\textstyle \frac{16}{n+1}} -4x^{n-1}+3 $ polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir ?

  1. $12 $

  2. $ 13 $

  3. $ 14 $

  4. $ 15$

  5. $ 16 $



Çözüm


Polinomun terimlerinin hepsinin üslerinin doğal sayı olması için $n$'nin alabileceği değerler $1$, $3$, $7$ ve $15$'tir , $15$ koyduğumuzda polinom, $P(x)= x^{\textstyle \frac{16}{16}} -4x^{14}+3 $ düzenlersek $P(x)= -4x^{14}+x+3$ olur, derece en fazla $14$ olabilir.

Örnek


$ n \in \mathbb{N} $ ve $P(x)$ bir polinom olmak üzere
$ P(x)= x^{n-7} -2x^{\textstyle \frac{12}{n+2}}+3 $ polinomunun derecesi nedir?

  1. $3 $

  2. $ 4 $

  3. $ 5 $

  4. $ 6$

  5. $ 7 $



Çözüm


Birinci terimin üssünün doğal sayı olabilmesi için $n \geq 7$ olmalıdır, ikinci terimin üssünün doğal sayı olabilmesi için tek seçeneğimiz var, $n=10$ olmalıdır, $P(x)=x^{3} -2x+3 $ olur ve polinomun derecesi $3$'tür.

Örnek


$ P(x)= 2x^{\textstyle \frac{4n+8}{n+1}}-3x+3 $ bir polinom olduğuna göre $n$'in alabileceği tamsayı değerler toplamı nedir?

  1. $-6 $

  2. $ -5 $

  3. $ -3 $

  4. $ 0$

  5. $ 3 $



Çözüm


$ \frac{4n+8}{n+1}$ ifadesini $\frac{4n+4}{n+1}+\frac{4}{n+1}=4+\frac{4}{n+1}$ olarak da yazabiliriz, şimdi üssün tam sayı olabilmesi için $n$'in alabileceği değerleri daha rahat görebiliriz, $n$'in alabileceği değerler $-5$ , $-3$ , $-2$,$0$,$1$,$3$'tür, $n> 3 $ için ifade tam sayı olamaz. $n$'in alabileceği tam sayı değerlerin toplamı $-6$'dır. Dikkat $n$ negatif olsa da üssün ifadesi hep doğal sayı çıktığından bir sorun yok.

Örnek


$ P(x)= 2x^{n+2}-3x^{6-2n}+1 $ polinomunun derecesi en fazla kaç olabilir?

  1. $5 $

  2. $ 6 $

  3. $ 8 $

  4. $ 9$

  5. $ 10$



Çözüm


İfadenin polinom olabilmesi için üslerin doğal sayı olması lazım, ilk terimin üssü için $n \geq -2 $ olmalı, ikinci terim için $n \leq 3$ olmalı, ikisini birleştirirsek $ -2 \leq n \leq 3$ olur, $n$ yerine $-2$ koyarsak ikinci terimin derecesi $6-2n=6-(2 \cdot (-2) )=10$ olur.

Örnek


$ P(x)= 5x^{a-7}-2x^{\textstyle \frac{a+15}{a+3}}+5 $ polinomunun derecesi kaçtır?

  1. $1 $
  2. $ 2 $
  3. $ 5 $
  4. $ 8$
  5. $ 10$



Çözüm


İlk terim için $a \geq 7$ olmalı , ikinci terimin üssünün tam sayı olması için ise, $\frac{a+15}{a+3}=\frac{a+3}{a+3} + \frac{12}{a+3}=1+\frac{12}{a+3}$ tam sayı olmalıdır, $a$ yerine $7$'den büyük ve ikinci ifadeyi tam sayı yapacak tek değer $9$'dur, $a$ yerine $9$ koyulduğunda ikinci terimin üssü $10$ olur, birinci terimin üssü $2$ olur, polinomun derecesi $10$, cevap $e$ şıkkı.

Örnek


$P(x)$ ve $Q(x)$ iki polinom,
$P(x) \cdot Q(x)$ polinomunun derecesi $12$,

\[ T(x)= \frac{x^2\cdot (P(x))^3}{Q(x)} \]
polinomunun derecesi $10$ ise

$ [P(x)+Q(x)]$ polinomunun derecesi kaçtır?

  1. $3 $
  2. $ 5 $
  3. $ 7 $
  4. $ 8$
  5. $ 9$



Çözüm


Öncelikle, iki polinomun birbiriyle çarpılmasıyla ortaya çıkan polinomun derecesi iki polinomun derecelerinin toplanmasıyla, birbirlerine bölünmesiyle ortaya çıkan polinomun derecesi ise birinci polinomun derecesinden ikinci polinomun derecesinin çıkarılmasıyla bulunur.

Basit bir örnek verirsek,

$P(x)=x^2$ olsun

$Q(x)=x^3$ olsun,

$P(x)$'in derecesi $2$ ve

$Q(x)$'in derecesi $3$ olduğu için

$P(x) \cdot Q(x)$'in derecesi $5$ olmalıdır.

Zaten bunu $P(x) \cdot Q(x)=x^2 \cdot x^3=x^5$ eşitliğinden görebiliriz.

Aynı şekilde

\[ \frac{Q(x)}{P(x)}=\frac{x^3}{x^2}=x \]
eşitliğinden de polinomlar birbirine bölündüğünde, derecelerin birbirinden çıkarıldığını görebiliriz.
Bir polinomun $x^2$ gibi bir ifadeyle çarpılması ise, polinomun derecesini ifadenin derecesi kadar artırır.
$x^2 \cdot Q(x)=x^2 \cdot x^3=x^5$ örneğinde görüldüğü gibi.
İki polinomun toplanması ile ortaya çıkan polinomun derecesi ise derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.
$P(x)+ Q(x)=x^2+x^3$ ifadesinde görüldüğü gibi.
Sorunun çözümü:
$P(x)$ polinomunun derecesine $p$ , $Q(x)$ polinomunun derecesine $q$ diyelim.
\begin{align*}
p+q &=12 \\
2+3p-q&=10 \\
2+4p&=22 \\
4p&=20\\
p&=5\\

5+q&=12\\
q&=7\\

\end{align*}
$d[P(x)]=5$ ve $d[Q(x)]=7$ ,
iki polinomun toplamının derecesi ise büyük olan dereceye eşittir. cevap $7$ yani $c$ şıkkı.

Örnek


$d[P^3(x) \cdot Q(x^2)]=24$
\[ d[\frac{Q(x^3)}{x^2 \cdot P(x)}]=1 \]
olduğuna göre
$d[Q(x) \cdot P(x)]$ kaçtır?


  1. $9 $

  2. $ 10 $

  3. $ 11 $

  4. $ 12$

  5. $ 13$



Çözüm


$d[P(x)]=p$ ve

$d[Q(x)]=q$ diyelim.

Önceki örneklerde anlatıldığı gibi, polinomun $3$ üncü kuvveti alındığında derecesi $3$'le çarpılır, birbirleriyle çarpılan polinomların dereceleri toplanır, bölümde ise dereceler çıkarılır.
\begin{align*}
d[P^3(x) \cdot Q(x^2)]=24 \longrightarrow 3p+2q &=24 \\
&\\
d[\textstyle \frac{Q(x^3)}{x^2 \cdot P(x)]}=1 \longrightarrow 3q-(2+p)&=1 \\
3q-2-p&=1 \\
3q-p&=3\\
9q-3p&=9\\
&\\
3p+2q&=24\\
9q-3p&=9\\
11q&=33\\
q&=3\\
&\\
3p+2q&=24\\
3p+6&=24\\
3p &=18\\
p&=6\\
\end{align*}
$d[Q(x) \cdot P(x)]= 6+3=9$ cevap $A$ şıkkı.

Örnek


$P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinom ve $P(x) \cdot Q(x)$ polinomunun derecesi $8$'dir. $P(x)$ polinomunun $Q(x)$ polinomuna bölünmesiyle ortaya çıkan polinomun derecesi ise $2$'dir.
\[ 2\cdot P(x)-4\cdot Q(x) \]
polinomunun derecesi kaçtır?


  1. $1 $

  2. $ 2 $

  3. $ 3 $

  4. $ 4$

  5. $ 5$



Çözüm


\begin{align*}
d[P(x) \cdot Q(x)]=8 \longrightarrow p+q &=8 \\
d[\textstyle \frac{P(x)}{Q(x)}]=2 \longrightarrow p-q&=2 \\
&\\
p+q+p-q=8+2\longrightarrow 2p&=10 \\
p&=5\\
q&=3\\
\end{align*}

$P(x)$ in derecesi $5$ ise $2 P(x)$ in derecesi de $5$ tir. Sabit sayıyla çarpmak $x$ in üssünü yani dereceyi değiştirmez. Benzer şekilde $4 Q(x)$ in derecesi de $3$ tür

\[ 2\cdot P(x)-4\cdot Q(x) \]
polinomunun derecesi ise büyük dereceli polinomun derecesine eşittir. İki polinom toplanır veya çıkarılırken ortaya çıkan polinomun derecesi büyük olanın derecesine eşittir. Cevap $5$

Örnek


$P(x)$ ve $Q(x)$ birer polinom ve
\[ \frac{d(P(x^3))}{d(Q(x))} =6 \qquad $d[P(x)\cdot Q(x) ] = 10 \]
olduğuna göre, $d[P(x)-Q(3x)]$ nedir?

  1. $0 $
  2. $ 1 $
  3. $ 2 $
  4. $ 3$
  5. $ 4$


Çözüm


$d(P(x))=p$ , $d(Q(x))=q$ diyelim.

\begin{align*}
\textstyle \frac{d(P(x^3))}{d(Q(x))} =6 \longrightarrow 3p-q &=6 \\
d(P(x)\cdot Q(x))=10 \longrightarrow p+q&=10 \\
&\\
3p-q+p+q=6+10\longrightarrow 4p&=16 \\
p&=4\\
q&=6\\
\end{align*}
Bir önceki örnekte de belirtildiği gibi polinomlar çıkarılır ya da toplanırken sonucun derecesi büyük olanın derecesidir. Böylece cevap $6$