İki değişkenli polinomlarda polinomun derecesi, iki değişkenin üslerinin toplamına eşittir, yani $P(x)=x^3y^2$ gibi bir polinomun derecesi $3+2=5$'tir. Soruda polinomun derecesinin $12$ olabilmesi için ilk terimin değişkenlerinin üsleri toplamı yani $a^2+a=12$ olmalıdır.
\begin{align*}
a^2+a &=12 \\
a^2+a -12&=0\\
&\\
(a-3)\cdot (a+4)&=0 \\
a&=3\\
a&=-4\\
\end{align*}
polinomun tüm terimlerinin üsleri doğal sayı olmalıdır,bu yüzden $a=-4$ olamaz, $a=3$'tür.
\begin{align*}
\text{polinomu a=3 değerini yerine koyarak tekrar yazalım}\\
P(x,y)&=2x^{9} \cdot y^3+x\cdot 2y^2-5\\
P(1,-2)&=2(1)^{9} \cdot (-2)^3+1\cdot 2(-2)^2-5\\
&=2\cdot 1 \cdot -8+1\cdot 2\cdot 4-5\\
&=-16+8-5\\
&=-13
\end{align*}

$x^4$'lü terim çıkarabilecek çarpımlara bakalım,

\begin{align*}
2x^4\cdot 3 &=6x^4 \\
-ax^3\cdot 3x &=-3ax^4 \\
2x\cdot ax^3 &=2ax^4\\
\end{align*}

Bunların birbirlerini götürmesi ve $x^4$'lü terim olmaması için:

\begin{align*}
6-3a+2a &=0\\
6-a &=0\\
a&=6\\
\end{align*}

olmalıdır. Cevap $D$ şıkkı.

Polinomun tam bölünebilmesi demek, kalanın sıfır olması demektir. Bir polinomun $2x-1$ ile bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir ve hangi polinom bölünüyorsa orada $x$ yerine bulunan değer konur. Soruda $2x-1$'e tam bölündüğü verilmiş. $2x-1=0$ ,$x=\frac{1}{2}$ koymalıyız.
\begin{align*}
-a( \frac{1}{2})^3+3( \frac{1}{2})^2+( \frac{1}{2})+4& =0\\
-a \frac{1}{8}+\frac{3}{4}+ \frac{1}{2}+4& =0\\
\frac{-a}{8}+\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{16}{4}&=0\\
\frac{-a}{8}+\frac{21}{4}&=0\\
\frac{-a}{8}&=-\frac{21}{4}\\
-a&=-\frac{8 \cdot 21}{4}\\
a&=42
\end{align*}

$x+1$ ile bölündüğünde $-3$ kalıyorsa böleni sıfıra eşitlediğimizde, $x+1=0$, $x$ yerine $-1$ koyduğumuzda polinom $-3$ değerini çıkarmalıdır.
\begin{align*}
4(-1)^{12}+3(-1)^{11}+a&=-3\\
4\cdot 1+3\cdot (-1)+a&=-3\\
4-3+a&=-3\\
a&=-4
\end{align*}

Bölenleri sıfıra eşitleyip polinomda yerine koyarsak kalanların aynı olması gerekiyor.
Yani $x+1=0$ için $x=-1$ ve $x-2=0$ için $x=2$ koyduğumuzda polinomun aynı değeri vermesi lazım. Kalan mesela $a$ olsun.
\begin{align*}
2\cdot (-1)^5-5\cdot(-1)^4+k\cdot(-1)^3+5&=a \qquad 2\cdot 2^5-5\cdot 2^4+k\cdot 2^3+5&=a \\
2\cdot( -1)-5\cdot 1+k\cdot(-1)+5&=a \qquad 64-5\cdot 16+k\cdot 8+5 &= a \\
-2-5-k+5&=a \qquad 64-80+8k +5 &= a \\
-2-k&=a \qquad -11+8k &=a \\
&\\
-2-k&= -11+8k \\
-2+11&=k+8k\\
9&=9k\\
k&=1
\end{align*}

$P(x)$ polinomunun $x-2$ ile bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir ve bulunan değer hangi polinom bölünüyorsa orada $x$ yerine konur. $x-2=0$ ise $x=2$ değerini $P(x)$ te $x$ yerine koymalıyız, dolayısıyla $P(2)$ yi bulmalıyız. Bu bilgiyle yukarıdaki polinoma gittiğimizde, $P(2)$'yi bulmak için, $x$ yerine $1$ koymamız gerektiğini görürüz.
\begin{align*}
P(4\cdot 1-2)&=1^3-3\cdot 1^2+2\cdot 1+2\\
P(2)&=1-3+2+2\\
P(2)&=2\\
\end{align*}

Verilen ifadede $x$ yerine $1$ koyarsak sağ taraf $0$ olacağı için $a$'nın değerini bulabiliriz.
\begin{align*}
x^4+ax^3+2x^2+1&=(x-1)P(x)\\
1^4+a\cdot 1^3+2\cdot 1^2+1&=(1-1)P(1)\\
1+a+2+1&=(0)P(1)\\
a+4&=0\\
a&=-4
\end{align*}
İfadeyi $a=-4$ değerini yerine koyarak yeniden yazalım
\[ x^4-4x^3+2x^2+1=(x-1)P(x) \]
$x+2$ ile bölümünden kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir ve hangi polinom bölünüyorsa o polinomda $x$ yerine bulunan bu değer konur. $x+2 = 0 \ise x=-2$ dir ve $P(x)$ bölündüğüne göre $P(-2)$ yi bulmalıyız. Yukarıdaki ifadede $x$ yerine $-2$ koyarsak.
\begin{align*}
(-2)^4-4\cdot(-2)^3+2\cdot (-2)^2+1&=(-2-1)P(-2)\\
16-4\cdot(-8)+2\cdot 4+1&=(-3)P(-2)\\
16+32+8+1&=(-3)P(-2)\\
57&=(-3)P(-2)\\
\frac{57}{-3}&=P(-2)\\
-19&=P(-2)
\end{align*}

$P(x)$'in bir çarpanı $(x^2+x-6)$'ymış, diğer çarpana da $Q(x)$ diyelim, kalanı da biliyoruz. Yani

$P(x)=Q(x)\cdot (x^2+x-6) +(3x+k)$ diye ifade edebiliriz.

$P(x) $ polinomunun derecesi $x-2$ ile bölümünden $x-2=0$, $x=2$ değeri için kalan $9$ olmalı.

\begin{align*}
P(2)&=Q(2)\cdot (2^2+2-6) +(3\cdot 2+k)=9\\
P(2)&=Q(2)\cdot (0) +(6+k)=9\\
k&=3
\end{align*}
olur. $k$'yı yerine koyup

$P(x)=Q(x)\cdot (x^2+x-6) +(3x+3)$ diye tekrar yazabiliriz.

$P(x) $ polinomunun $x+3$ ile bölümünden kalanı bulmak için $x+3=0$, $x=-3$ yani $P(-3)$'ü bulalım.

\begin{align*}
P(-3)&=Q(-3)\cdot ((-3)^2+(-3)-6) +(3\cdot(-3)+3)\\
P(-3)&=Q(-3)\cdot (9-3-6) +(-9+3)\\
&=Q(-3)\cdot (0) +(-6)\\
&=-6
\end{align*}

$P(x)$'in çarpanı olan polinoma $Q(x)$ diyelim

$P(x)=Q(x)\cdot (x^2-3x+4) +(2x+4)$ diye ifade edebiliriz.

$P(x)$'in katsayılar toplamını bulmak için $P(1)$'i bulmalıyız, $x$ yerine $1$ koyalım.

Bu arada bölüm polinomunu olan $Q(x)$'in katsayılar toplamı $5$ olduğuna göre

$Q(1)=5$ bilgisine de sahibiz.

\begin{align*}
P(x)&=Q(x)\cdot (x^2-3x+4) +(2x+4)\\
P(1)&=Q(1)\cdot (1^2-3\cdot 1+4) +(2\cdot 1+4)\\
&=5\cdot (2-3+4) +(2+4)\\
&=5\cdot (3) +(6)\\
&=21\\
\end{align*}