Bir polinomu başka bir polinomla işleme soktuğumuzda sonuç polinomunun derecesi ile verilen polinomların dereceleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
Bir $P(x)$ polinomunun derecesi için $d[P(x)]$ ya da $der[P(x)]$ sembolleri kullanılır.
\[ P(x)=x^2-3x+1 \text{ ve } Q(x)=2x^3+2x-7 \] Verilen iki polinomu çarptığımızda çıkacak en büyük dereceli terim $x^2 \cdot 2x^3=2x^5$ tir. Demek ki sonuç $5.$ derece bir polinomdur. Benzer şekilde, birbirine bölünebilen iki polinom verildiğinde bölmenin derecesi bu iki polinomun derecelerinin farkıdır. Derece meselesinde belirleyici olan en büyük dereceli terim olduğu için çoğu durumda polinomu sadece bu terimmiş gibi düşünebiliriz.
* $d[P(x)\cdot Q(x)]= d[P(x)] \cdot d[Q(x)]$
* $d[\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}]=d[P(x)]-d[Q(x)]$
Bir polinomun $n.$ üssünü aldığımızda en büyük dereceli terimi kendisiyle $n$ defa çarpmış oluruz, örneğin $(x^6)^n=x^{6n}$ olduğundan derece 6 iken $6n$ e çıkar.
* $d[P^n(x)]=n\cdot d[P(x)]$
$P(x)=2x^3-4x+3$ polinomu verilsin ve $P(2x^2)$ ün derecesini bulalım.
\begin{align*}
P(x) &= 2x^3-4x+3 \\
P(2x^2) &= 2(2x^2)^3-4\cdot (2x^2) + 3
&= 16x^6 - 8x + 3
\end{align*}
Örnekten de anlaşılacağı gibi bir polinomda $x$ yerine $x^n$ konursa derece $n$ katına çıkmış olur.
Örnek
$d[P(x)\cdot Q(x)]=4$ ve $d[\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}]=2 $ ise $P^3(x^2)\cdot Q(x)$ in derecesi nedir?
Çözüm
$d[P(x)]=p$ ve $d[Q(x)]=q$ olsun.
\begin{align*}
d[P(x)\cdot Q(x)]= p+q &=4 \\
d[\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}]= p-q &=2 \\
\end{align*}
İki bilinmeyenli iki denklem verilmiş. Alt alta toplayıp çözersek $p=3$ ve $q=1$ çıkar.
$P^3(x^2)$ de derece $6$ katına çıkar. Yani $d[P^3(x^2)]=6\cdot d[P(x)]$. Bu durumda
\[ d[P^3(x^2)\cdot Q(x)]=6 \cdot d[P(x)]+d[Q(x)]=19 \]