Cevap

Bir doğrunun bir parabole en yakın noktası için doğru ile aynı eğimli teğetin değme noktası bulunur. Doğrudan alacağımız tek şey eğim. $y=x+n$ şeklinde bir teğetin değme noktasını arıyoruz. Bir doğru ile bir parabol teğet ise ortak denklemin diskriminantı sıfırdır. $ y^2 = x \to (x+n)^2 = x \to x^2 + (2n-1)x + n^2 = 0$. Ortak denklem \[ x^2 + (2n-1)x + n^2 = 0 \] Bu denklemin diskriminantını sıfıra eşitleyelim: $ (2n-1)^2 - 4 n^2 = 0 \to n= \frac{1}{4} $. Ortak denklemin tek kökü vardır ve $ \frac{-b}{2a}$dır ($\Delta = 0 $ olduğundan) $x_t = \frac{1-2n}{2} = \frac{1}{4}$ Teğetin değme noktasının apsisini bulduk. Ordinatı için de parabol denklemini kullanabiliriz. \[ y^2 = x \to y^2 = \frac{1}{4} \to y \pm \frac{1}{2} \] Grafik düşünüldüğünde pozitif değeri seçmemiz gerektiği açıktır. Teğetin değme noktası ve $y=x+4$ e en yakın nokta $(\frac{1}{4},\frac{1}{2}$ dir. Buradan bir doğrunun parabole en yakın noktası hakkında bilgi ve temel örneklere ulaşabilirsiniz. II. Yol Daha genel bir yoldan da çözebiliriz. Parabol üstündeki herhangi bir $(x,y)$ noktasının doğruya uzaklığını bir fonksiyon olarak yazarsak bu fonksiyonun türevinin sıfır olduğu yer bize minimum uzaklık noktasını verecektir. Parabolün herhangi bir noktası $(x, \sqrt{x})$ ve $ax + by +c =0$ şeklindeki bir doğruya $(x_0,y_0)$ noktasının uzaklığı \[ d = \frac{|ax_0 + b y_0 + c| }{\sqrt{a^2 + b^2} }\] olduğundan $y=x+4$ e uzaklık \[ d(x) = \frac{x-y+4}{\sqrt{2}} = \frac{x-\sqrt{x}+4}{\sqrt{2}} \] $d'(x) = 0 $ ı çözdüğümüzde de $x = \frac{1}{4}$ çıkar.