Cevap

Derdimiz eğri üstündeki herhangi bir noktanın doğruya uzaklığını bir fonksiyon olarak ifade etmek. Daha sonra bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek minimum olduğu yeri buluyoruz. Parabol üstündeki bir nokta $(x,x^{2} -4x+11 )$ şeklindedir. Bir noktanın bir doğruya uzaklığı: \[ d = \frac{|ax_0 + b y_0 + c| }{\sqrt{a^2 + b^2} } \] Verilen doğrunun genel denklemi $2x - y -15=0$ dır. Formüle göre bu denklemde elimizdeki noktanın koordinatlarını yazmalı ve $\sqrt{a^2 + b^2}$ ye bölmeliyiz. Eğri üstündeki noktanın uzaklık fonksiyonu $D(x)$ : \[ D(x) = \frac{|2x - (x^2 - 4x + 11) - 15|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} (|-x^2 + 6x -11|) = \frac{1}{\sqrt{5}} (x^2 - 6x + 11|) = \] $| -x^2 + 6x-26|$ ifadesinin diskriminantı negatif ve başkatsayısı da negatif olduğundan hep negatiftir. Bu yüzden mutlak değerden $-1$ ile çarpılarak çıkardık. Bu konuda ayrıntılı bilgi için burada $\Delta \lt 0$ durumuna bakabilirsiniz. Türevi alıp sıfıra eşitlersek \[ D'(x) = \frac {1}{\sqrt{5}} (2x-6) = 0 \to x = 3 \] Eğri üstünde apsisi $3$ olan noktanın ordinatı da $ y(3) = 3^2 - 12 + 11 = 8 $ Benzer bir sorunun hem türev hem de türevsiz yolla çözümüne buradan ulaşabilirsiniz.