Cevap

Önce parabolün doğruya en yakın noktasını bulalım. Parabolün doğruya en yakın noktası bu doğruya paralel olan teğetinin değme noktasıdır. Bu noktanın türevle ispatına buradan parabol konusunda anlatıldığı şekliyle ayrıntılı açıklamasına buradan ulaşabilirsiniz. Doğruya paralel teğet de $y= 4x + n$ şeklindedir.

$ y = 4x + n$ şeklinde bir teğet aradığımızdan parabolle bunun kesişimi tek bir noktadır. Yani ortak denklemin tek bir kökü vardır. Ortak denklem: \[ 2x^2 + 6 = 4x+ n \to 2x^2 - 4x + 6 -n = 0 \] Elde ettiğimiz bu ikinci derece denklemin tek kökü olduğundan $ \Delta =0$ dır ve tek kök direk $ -\frac{b}{2a} = 1 $ dir. Yani $n$ ye falan ihtiyacımız yok. Olsaydı $\Delta =0$ denkleminden çözerdik. Demek ki verilen doğruya paralel ve parabole teğet olan doğru $x =1$ apsisli noktada parabole değmektedir. Bu nokta parabolün de bir noktası olduğundan parabol denkleminde yerine yazarsak ordinatı $8$ olur. Parabolün doğruya en yakın noktası $(1,8)$ noktasıdır. Şimdi bu noktadan bir normal çizelim ve bunu verilen doğru ile kesiştirelim. Verilen doğruya ve teğete dik bir doğru aradığımızdan eğim $ m_n = - \frac{1}{4}$ tür (dik iseler eğimler çarpımı $-1$ idi ve doğruların eğimleri $4$ tür). $(1,8)$ noktasından geçen ve eğimi $-\frac{1}{4}$ olan doğru denklemi: \begin{align*} y &= - \frac{1}{4} x + n \\ 8 &= - \frac{1}{4} \cdot 1+ n \\ n &= \frac{33}{4} \\ y &= - \frac{1}{4} x + \frac{33}{4} \end{align*}

Bu doğruyu $ y = 4x+1$ ile kesiştirirsek apsisi bulmuş oluyoruz. \[ 4x + 1 = - \frac{1}{4} x + \frac{33}{4} \to x = \frac{29}{17} \]