Evrensel Küme ve Tümleme


Belli bir problemdeki tüm elemanları içeren kümeye evrensel küme diyeceğiz ve bu kümeyi $E$ ile göstereceğiz.
Bir $A$ kümesinde olmayan ancak evrensel kümede olan tüm elemanlardan oluşan kümeye $A$ nın tümleyeni denir ve $A'$ şeklinde gösterilir.
\[ A' = \{ x | x \not \in A \} \]
A ve tümleyeni Venn şeması
$A$ nın tümleyeni $A$ da olmayan tüm elemanları içerdiğinden şu iki sonuç açıktır:

De Morgan Kuralları
Birleşim ve kesişim işlemlerinde tümleyen işleminin şu iki özelliği vardır:


  1. $(A \cup B)' = A' \cap B'$

  2. $(A \cap B)' = A' \cup B'$


Örnek


Bileşme, Kesişme, Fark ve Simetrik Fark


  1. Bileşim

  2. İki kümenin elemanlarının tümünden oluşan kümeye bileşim kümesi denir ve $ A \cup B $ şeklinde gösterilir. Bileşim kümesindeki elemanlar $A$ ve $B$ nin en az birinde olmak zorundadırlar. Bunu şöyle de gösterebiliriz.
    \[ A \cup B = \{ x | x \in A \vee x \in B \} \]
    $x$ öyle ki $x$ elemanıdır $A$ veya($ \vee $) $x$ elemanıdır $B$.

    $ A $ ve $ B $ iki farklı küme olmak üzere bileşim kümesi Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilebilir.

    A bileşim B
    A bileşim B
    A bileşim B

      Bileşim işleminin özellikleri
    • Değişme Özelliği

    • $ A \cup B = B \cup A $
    • Tek Kuvvet Özelliği

    • $ A \cup A = A $
    • Birleşme Özelliği

    • $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $


    Örnek


    $ A = \{ 2,3,4,5 \} $ ve $B = \{ 3,4,7 \}$ olmak üzere $ A \cup B$ kümesini liste yöntemi ile yazınız.

    Çözüm


    İki kümedeki elemanların tamamını birleşim kümesine atıyoruz ve tabii ki küme tanımından dolayı aynı elemanı birden fazla kere koymuyoruz.
    \[ A \cup B = \{ 2,3,4,5,,7 \} \]

    Görüldüğü gibi bileşim kümesinin eleman sayısı iki kümenin eleman sayıları ile aynı olmayabilir. Kesişen kümeler ise ortak elemanları iki kere koyamayacağımızdan bileşim kümesinin eleman sayısı kesişim kadar azalır. Bir $A$ kümesinin eleman sayısı $s(A)$ şeklinde gösterilir. Bileşim kümesinin eleman sayısı \[ s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \]

  3. Kesişim

  4. İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir ve $ A \cap B $ şeklinde gösterilir. Kesişim kümesindeki elemanlar $A$ ve $B$ nin ikisinde de olmak zorundadırlar. Bunu şöyle de gösterebiliriz.
    \[ A \cap B = \{ x | x \in A \wedge x \in B \} \]
    $x$ öyle ki $x$ elemanıdır $A$ ve($ \wedge $) $x$ elemanıdır $B$.

    $ A $ ve $ B $ iki farklı küme olmak üzere kesişim kümesi Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilebilir.
    A kesişim B
    A kesişim B

  5. Fark
  6. Bir $A$ kümesinin başka bir $B$ kümesinde olmayan elemanlarını göstermek için $A$ nın $B$ den farkı anlamında $ A \backslash B$ ya da $A-B$ kullanılır ve Venn şeması gösterimi şöyledir.
    A fark B

Örnek


Verilen $A$ ve $B$ kümeleri için $A \backslash B$ kümesini bulunuz.

  1. $ A = \{ 1,3,5,7,9 \}$ ve $ B = \{ 1,2,3,4,5 \} $

  2. $ A = \{ 1,3,5,7,9 \}$ ve $ B = \{ 1,3 \} $

  3. $ A = \{ 1,3,5,7,9 \}$ ve $ B = \{ 2,4 \} $


Çözüm



  1. $A$ da olup $B$ de olmayan elemanlarla bir küme oluşturursak, $ A \backslash B = \{ 7,9 \} $

  2. A fark B 1
  3. $ A \backslash B = \{ 5,7,9 \} $
    A fark B 2
  4. $ A \backslash B = \{1,3, 5,7,9 \} $
    A fark B 3

  5. Simetrik Fark

  6. İki kümenin birbirinden farklı elemanlarının oluşturduğu küme ya da $ A \backslash B $ ve $ B \backslash A $ kümelerinin bileşimine simetrik fark kümesi denir ve $ A \Delta B $ şeklinde gösterilir.
    A simetrik fark B