İkinci derece denklemler konusundan bildiğimiz gibi $\Delta$ bize denklemin kökleri hakkında 3 ihtimalden birini söylüyordu:
- $ \Delta > 0$ iki farklı reel kök
- $\Delta = 0$ çakışık iki kök
- $\Delta \lt 0 $ reel kök yok.
Parabol grafiğinde iki farklı reel kökün anlamı $x$ eksenini iki farklı yerde kesiyor, çakışık iki kökün anlamı $x$ eksenine teğet ve reel kök yokun anlamı ise $x$ eksenini kesmiyordur. Yani:
- $\Delta \gt 0$ ise parabol $x$ eksenini iki farklı noktada
keser. - $\Delta = 0$ ise parabol $x$ eksenine teğettir. Negatif tarafta teğetse $\frac{-b}{2a} \lt 0$ ve pozitif tarafta teğetse $\frac{-b}{2a}> 0 $ olmalıdır.
- $\Delta \lt 0 $ ise $x$ eksenini kesmez. $a \gt 0$ ise parabol hep $y$ ekseninin pozitif tarafında $a \lt 0$ ise hep negatif tarafında kalır.
Örnek
$y=(4m+8)x^2-4mx+1$ parabolü $x$ eksenine pozitif tarafta teğet olduğuna göre $m$ için çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Teğet dediği için $\Delta=0$ ve pozitif dediği için $\frac{-b}{2a} \gt 0$
\[ \Delta = b^2-4ac \rightarrow (-4m)^2-4(4m+8)=0 \]
\[ \Delta =16m^2-16m-32=0\]
Son denklemde her iki tarafı $16$ ile bölersek \[ m^2-m-2 =0 \]
Çarpanlarına ayırdığımızda $m^2-m-2 =(m-2)(m+1)=0 $. Buradan $m_1=2$ ve $m_2=-1$ çıkar. Pozitif tarafta teğet olduğundan
\[ \frac{-b}{2a}=\frac{4m}{8m+16} \gt 0 \] Bu eşitsizliği sadece $m=2$ sağlar dolayısıyla çözüm kümemizde sadece $2$ vardır.