• ders
• video
• test

Bu tanımdan yola çıkarak sinüs ve kosinüsün özelliklerini anlamaya çalışalım. Öncelikle bir açının sinüs, kosinüs değerlerinin işaretini birim çemberden anlayabiliyoruz. Kosinüsü düşünürsek bir açı $90^{\circ}$'yi geçtiği an $x$ koordinatı orjinin solunda kalıyor dolayısıyla kosinüs negatif oluyor. $270^{\circ}$ dereceden sonra $x$ koordinatı orjinin sağında kalıyor dolayısıyla kosinüs gene pozitif oluyor.

Sinüs için düşünürsek $ 180^{\circ}$'ye kadar pozitif ve $180^{\circ}$'den $360^{\circ}$'a kadar da negatif oluyor.

Bunun yanında bu değerleri karşılaştıra da biliriz. Örneğin $\sin (40^{\circ})$ $\sin (60^{\circ})$'den küçüktür. Animasyondan da görüldüğü gibi açı $90^{\circ}$a gittikçe sinüs $1$'e yaklaşıyor ve tam $90^{\circ}$'da $1$ oluyor.

$90$ ile $180$ arasını düşünürsek burada kosinüs $180$'e doğru gittikçe küçülüyor. Negatif tarafta karıştırmayalım kosinüs $0$'dan $-1$'e doğru gidiyor. Tam $180$'de kosinüs değeri $-1$ oluyor. Sinüs değeri de küçülüyor. O da $1$'den $0$'a doğru gitmekte. $180$ ile $270$ arasını ve $270$-$360$ arasını lütfen animasyonu inceleyerek anlamaya çalışınız.

Burada kendiliğinden bir şey yapmış olduk. Bu incelemede aslında dört bölge farklı özellikler gösteriyor. Saat yönünün tersine sırayla bu bölgeler I, II, III ve IV diye adlandırılmaktadırlar. Yani eğer

* $0\lt \alpha \lt 90$ Açı I. bölgededir
* $90 \alpha \lt 180$ Açı II. bölgededir
* $180\lt \alpha \lt 270$ Açı III. bölgededir
* $ 270\lt \alpha \lt 360$ Açı IV. bölgededir

$\sin$ ve $\cos$ haricinde 4 fonksiyon daha tanımlayacağız ve kullanacağız. Bunlar $\tan$, $\cot$, $\sec$ ve $\csc$:
\[\tan (\alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \qquad \cot (\alpha) = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[\sec (\alpha) = \frac{1}{\cos \alpha} \qquad \csc (\alpha) = \frac{1}{\sin \alpha} \]

$\tan$ ve $\cot$ için de $\sin$ $\cos$ ta yaptıklarımızı yapalım:

Öncelikle bunlar birbirlerinin çarpmaya göre tersidirler. Dolayısıyla bir bölgede $\tan$'ın işareti neyse $\cot$'un da işareti odur. Gene biri büyüyorsa diğeri küçülüyordur. Bunun için sadece $\tan$'ı inceleyeceğiz.

$\tan = \frac{\sin}{\cos}$ olduğundan $\sin$ ve $\cos$ aynı işaretli olduğunda $\tan$ pozitif farklı işaretli olduklarında da $\tan$ negatif olur. $\tan$'ın $+$ olduğu yerler I. ve III. bölgelerdir. $-$ olduğu yerler de II. ve IV. bölgelerdir. Bunlar birim çembere baktığımızda hemen görebileceğimiz noktalar. Ancak daha zor olan $\tan$ ve $\cot$'un değerleri. $\sin$ ve $\cos$ değerleri açı ne olursa olsun tanım gereği $-1$'den küçük ve de $1$'den büyük olamaz. Yani \[-1 \leq \sin \alpha \leq 1 \qquad -1 \leq \cos \alpha \leq 1\] açı ne olursa olsun geçerlidir. Ancak $\tan$ için durum biraz daha farklı. $0$'dan $90$'a doğru gittiğimizi düşünelim. $sin$ $1$'e yaklaşmakta ve $\cos$ da $0$'a yaklaşmaktadır. Dolayısıyla sonsuza giden bir kesrimiz var. \[\tan = \frac{\sin}{\cos} = \frac{\rightarrow 1}{\rightarrow 0} \]
Yani $90$'ın $\tan$' tanımsız oluyor. Gene $180$'den $90$'a doğru gidersek $\sin$ büyümekte ve $\cos$'da $-1$'den $0$'a doğru küçülmektedir. Burada $\frac{\sin}{\cos}$ değeri negatiftir. Onun dışında gene kesrimiz sonsuza gidiyor ancak $-\infty$. Dolayısıyla \[ -\infty \lt \tan \alpha \lt +\infty \] sonucunu çıkarabiliriz.