Taban Aritmetiği-Dört İşlem

Toplama ve çarpma

Taban aritmetiğine başlarken onluk tabanda otomatik ve farketmeden yaptıklarımızı düşüneceğiz demiştik. Burada da bu yardımcı olacak. İki sayıyı toplarken toplam $12$ yapıyorsa $2$ yazıp onluğu elde var $1$ diyerek sola geçiriyoruz. Örneğin $5$ lik tabanda toplama yaparken de toplamın $5$ ten büyük kısmını elde olarak geçireceğiz, toplam $7$ yapmışsa artan kısım $2$ yi yazıp elde var $1$ diyerek $5$ i sola geçireceğiz. Kafa karıştırıcı olabilir bu yüzden daha da netleştirelim.

Onluk tabanda toplama yaparken örneğin $34$ elde ettik $4$ ü yazıp elde var $3$ diyoruz. Bu durumda aslında hemen $10$ a bölüyoruz ve kalanı yazıp bölümü elde olarak geçiriyoruz. Belli bir tabanda da toplama yaparken, örneğin $5$ lik tabanda toplama yapıyorsak ve toplam $18$ etmişse $18$ i $5$ e yani tabana böleceğiz ve kalanı yazıp bölümü elde olarak geçireceğiz.

Örnek

Aşağıdaki işlemleri yapınız.

$(1434)_5 + (4312)_5 $

$ (3216)_8 + (1742)_8 = $

$(12)_5 \times (34)_5 $

$ (234)_8 \times (352)_8 $

Çözüm

$ 1 $ $ 4 $ $ 3 $ $ 4 $
$+$ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 2 $

Önce birler basamağındaki $4$ ve $2$ nin toplamı $6$ dır. Tabana bölüp bölümü elde olarak geçiriyoruz ve kalanı yazıyoruz. $6$ nın $5$ e bölümünde bölüm $1$ yani elde bir var ve kalan $1$ yani biri yazıyoruz.

$ 1 $ $ 4 $ $ 3 $ $ 4 $
$+$ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 2 $
$1$ (ve elde $1$ var)

Şimdi bir soldaki basamak olan beşler basamağındayız. $3 + 1 = 4$ ve elde de $1$ vardı toplam $5$ etti. Tabana yani beşe bölüp bölümü elde olarak geçiriyoruz ve kalanı da yazıyoruz. Burada bölüm $1$ ve kalan $0$.

$ 1 $ $ 4 $ $ 3 $ $ 4 $
$+$ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 2 $
$0$ (ve elde $1$ var) $1$

Bir soldaki basamak $25$ ler basamağındayız. $4+3 = 7$ ediyor. $7$ de bir tane beş var ve kalan da $2$. $2$ yi yazıp elde bir geçireceğiz.

$ 1 $ $ 4 $ $ 3 $ $ 4 $
$+$ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 2 $
$2$ (ve elde var $1$) $0$ $1$

ve en sol basamaktayız. $1+4 = 5$ ve bir de elde vardı $6$ etti. Tabana böldüğümüzde bölüm $1$ elde geçireceğiz ve kalan $1$ bunu da yazacağız.

$ 1 $ $ 4 $ $ 3 $ $ 4 $
$+$ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 2 $
$1$ (ve elde var $1$) $2$ $0$ $1$

Artık toplayacak bir basamak yok eldeki eldeyi en sola yazacağız.

$ 1 $ $ 4 $ $ 3 $ $ 4 $
$+$ $ 4 $ $ 2 $ $ 1 $ $ 2 $
$1$ $1$ $2$ $0$ $1$

Sonuç $(11201)_5$

Burada da birler basamağının toplamı $8$ ve bunu tabana bölersek bölüm $1$ elde geçecek ve kalan $0$ yazılacak. Yukarıdaki toplamada ayrıntılı anlatıldığı gibi işlem yapılırsa sonuç
\[ (3216)_8 + (1742)_8 = (5160)_8 \]

Çarpma da tamamen aynı. Nasıl örneğin $ 4 \times 6$ da $24$ yaptığında $4$ ü yazıp içindeki $2$ tane $10$ u elde olarak geçiriyorsak beşlik tabanda da beşleri elde olarak geçireceğiz. Sonucu tabana bölüp bölümü elde olarak geçiriyoruz ve kalanı da yazıyoruz.
$(12)_5 \times (34)_5 $ işlemini tablolaştırarak yapalım

$1$ $2$
$ \times $ $3$ $4$

$4$ le üstteki $2$ yi çarparak başlıyoruz. $8$ ve taban $5$ e bölersek bölüm $1$, kalan $3$, bölümü elde olarak geçireceğiz ve kalanı da yazacağız.

$1$ $2$
$ \times $ $3$ $4$
$3$ (elde var $1$)

Şimdi $4$ le üstteki $1$ i çarpacağız ve eldeki $1$ i de eklersek $5$ etti. Tabana böldük bölüm $1$ (elde geçecek) ve kalan $0$ yani yazacağız.

$1$ $2$
$ \times $ $3$ $4$
$0$ (elde var $1$) $3$

Artık $4$ le yukarıda çarpacak bir şey kalmadığından eldeki $1$ i en sola yazacağız.

$1$ $2$
$ \times $ $3$ $4$
$1$ $0$ $3$

Aynı şekilde alttaki $3$ le de üstteki sayıyı çarparsak (sola kaydırmayı unutmayalım)

$1$ $2$
$ \times $ $3$ $4$
$1$ $0$ $3$
$4$ $1$

Şimdi bulduğumuz $103$ ve $410$ u toplayacağız ancak burada da dikkat etmemiz gereken beşlik tabanda toplama yaptığımız. Sonuç

$1$ $0$ $3$
$4$ $1$ $0$
$1$ $0$ $1$ $3$

$(1013)_5$ çıktı.

$ (234)_8 \times (352)_8 $ çarpımını yaparken de bir önceki örneklerde vurgulanan şekilde işlem yapılır. Onluk tabandaki gibi çarpma yapılır ancak bulunan sonuçlar $8$ e bölünür. Bölüm elde olarak geçer ve kalan da yazılır.
Sonuç $8$ lik tabanda $107230$.

Çıkarma

Onluk tabandaki $28 - 9$ çıkarmasını düşünelim. $8$ den $9$ çıkmayacağı için solundaki basamaktan bir alıp sağa $10$ olarak geçiririz ve $18$ den $9$ u çıkarırız. Aynen onluk tabandaki gibi başka bir tabanda da soldan alınan $1$ sağa geçerken bu taban eder. Örneğin beşlik tabanda $31-24$ çıkarmasını yaparken $1$ den $4$ çıkmayacağı için $1$ in yanından $1$ alıp sağa $5$ olarak geçireceğiz ve $6$ dan $4$ ü çıkaracağız.

$3$ $1$ ($1$ den $4$ çıkmadığından yandaki $3$ ten $1$ alıp $5$ olarak geçireğiz)
$-$ $2$ $4$

Çıkarma şuna dönüşecek

$2$ (sağa $1$ verdik) $6$
$-$ $2$ $4$

Buradan cevap $2$ çıkar.