Giriş
Taban aritmetiğini anlayabilmek için kullandığımız sayı tabanında aslında farketmeden otomatik olarak neler yaptığımıza biraz bakacağız. Bu aynen anadilimizde konuşurken gramer kurallarını hiç düşünmeden uygulamamız gibidir. Varlıklarını farketmeyiz bile.
Örneğin $16$ yazdığımda bunu onaltı diye okuruz. Halbuki yanyana iki işaret var $1$ ve $6$. Otomatik olarak $1$ i $10$ diye okuduk yani onla çarptık. Onluk tabanda basamaklar sağdan $1,10,100$ diye gider ve yazılan sayılar buna göre basamak değeri ile çarpılır. Gene düşünürsek bu tabanda bütün sayıları yazarken $10$ tane işaret kullanmaktayız ve bunlara da rakam demekteyiz. Demek ki başka bir tabanda örneğin $5$ lik tabanda $5$ tane simge yeterli olacak. $0,1,2,3,4$ sadece bunları kullanarak tüm sayıları yazabiliriz. Basamaklar da sağdan birler, beşler, yirmibeşler şeklinde gidecek:
\[ (134)_5 \]
sayısı beşlik tabanda yazılmış bir sayıdır. Onluk taban herzaman kullandığımız taban olduğundan okurken çözümleme yaptığımızın farkına varmayız: 235 sayısını okurken 2 tane 100 lük 3 tane 10 luk ve 5 tane 1 lik diye okuruz. Yukarıda yazılan sayıyı da çözümlersek sağdan basamaklar $1,5,5^2$ şeklinde gittiğinden
\[ 1 \cdot 25 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 \]
Yazdığımız sayı bildiğimiz onluk tabanda 44 ü anlatıyormuş.
Bir tabandan onluk tabana çevirme
Bunu zaten halletmiş olduk. Örneğin $a$ tabanından isek basamaklar sağdan sola $1,a,a^2,a^3 \cdots $ şeklinde gider ve her sayı basamak değeri ile çarpılarak çözümleme yapılır.
Örnek
Aşağıdaki sayıları onluk tabana çeviriniz.
- $(2302)_5 $
- $ (123)_4 $
- $(1101)_2 $
Çözüm
- 5 lik tabanda basamaklar sağdan $1,5^1,5^2$ şeklinde gider:
$ 5^3 $ $5^2$ $5^1$ $1$ $2$ $3$ $0$ $2$ Sayıları basamak değerleri ile çarpıp toplarsak:
\[ 2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 2 \cdot 1 = 327 \] - 4 lük tabanda basamaklar sağdan $1,4^1,4^2$ şeklinde gider:
$4^2$ $4^1$ $1$ $1$ $2$ $3$ Sayıları basamak değerleri ile çarpıp toplarsak:
\[ 1 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^1 + 3 \cdot 1 = 27 \] - 2 lik tabanda basamaklar sağdan $1,2^1,2^2$ şeklinde gider:
$2^3$ $2^2$ $2^1$ $1$ $1$ $1$ $0$ $1$ Sayıları basamak değerleri ile çarpıp toplarsak:
\[ 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 1= 13 \]
\[ (10302)_5 = 1 \cdot 5^4 + 3 \cdot 5^2 + 2 \cdot 1 = 702 \]
\[ (111)_2 = 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 1 = 7 \]
\[ (187)_9 = 1 \cdot 9^2 + 8 \cdot 9^1 + 7 \cdot 1 = 160 \]
Onluk tabandan başka bir tabana çevirme
Burada iki yol var. Biri devamlı sayıyı verilen tabana bölme. Ancak biz diğer yolu öğreneceğiz. Çünkü bu yol taban aritmetiğinin ne olduğunu daha çok kavramamızı sağlıyor. Onluk tabanda nasıl sayıları birlik, onluk, yüzlük şeklinde grupluyorsak başka bir tabanda da buna uygun gruplarız. Beşlik tabanda da bir sayının kaç tane birlik, beşlik, yirmibeşlik vs... içerdiği önemlidir.
Bunu yaparken sayının alabileceği en büyük basamağa kadar yazılıp bir bölme yapılır. Aşağıdaki örnekte bir sayıyı çevirelim:
Örnek
$97$ sayısının beşlik tabandaki karşılığı nedir?
Çözüm
Sayının alabileceği en büyük basamağa kadar beşlik tabanın basamaklarını $1,5,25 \cdot $ şeklinde yazalım ve bölme yapalım:
| Sayı | Basamaklar | ||
|---|---|---|---|
| $97$ | $25$ | $5$ | $1$ |
$97$ nin alabileceği en büyük basamak $25$ tir bundan sonraki basamak $125$ olduğundan yazmadık. Şimdi bölmeye başlayacağız. $97$ de $25$, $3$ defa var:
| Sayı | Basamaklar | ||
|---|---|---|---|
| $97$ | $25$ | $5$ | $1$ |
| $- 75 $ | $3$ | ||
| $ 22 $ | |||
ve 22 ile bölmeye devam edeceğiz. $22$ de $5$, $4$ defa var:
| Sayı | Basamaklar | ||
|---|---|---|---|
| $97$ | $25$ | $5$ | $1$ |
| $- 75 $ | $3$ | $4$ | |
| $ 22 $ | |||
| $ -20 $ | |||
| $ 2 $ | |||
ve $2$ de $1$ $2$ defa var
| Sayı | Basamaklar | ||
|---|---|---|---|
| $97$ | $25$ | $5$ | $1$ |
| $- 75 $ | $3$ | $4$ | $2$ |
| $ 22 $ | |||
| $ -20 $ | |||
| $ 2 $ | |||
| $ -2 $ | |||
| $ 0 $ | |||
Sayı $3$ tane $25$ lik, $4$ tane $5$ lik ve $2$ tane de $1$ lik içermekte ve beşlik tabandaki hali:
\[ (342)_5 \]
Örnek
$14$ sayısını ikilik tabana çeviriniz.
Çözüm
Gene ikilik tabandaki basamakları $14$ ün alabileceği en büyüğe kadar yazalım, $1,2,2^2,2^3$ ve bölme yapalım.
| Sayı | Basamaklar | |||
|---|---|---|---|---|
| $14$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
| $- 8 $ | $1$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| $ 6 $ | ||||
| $ -4 $ | ||||
| $ 2 $ | ||||
| $ -2 $ | ||||
| $ 0 $ | ||||