Herhangi bir $a$ tabanında basamaklar sağdan $1,a,a^2, \cdots$ şeklinde gider. Sayıyı ve her rakamın üzerine bulunduğu basamağı yazalım

Basamaklar	$6^3$	$6^2$	$6^1$	$1$
Sayı	$1$	$3$	$4$	$2$

Her basamağı basamak değeri ile çarparsak
\[ 1 \cdot 6^3 + 3 \cdot 6^2 + 4 \cdot 6^1 + 2 \cdot 1 = 350 \]

Önce yedilik tabanda verilen sayıyı onluk tabana çevirelim ve sonucu da tekrar beşlik tabana çevireceğiz. Böylece hem başka bir tabandan onluk tabana hem de onluk tabandan başka bir tabana çevirmeyi tekrarlamış olacağız.

Bir önceki örnekteki gibi $7$ lik tabandaki basamakları ve sayıyı yazarsak

Basamaklar	$7^3$	$7^2$	$7^1$	$1$
Sayı	$1$	$4$	$3$	$3$

Çözümlersek
\[ 1 \cdot 7^3 + 4 \cdot 7^2 + 3 \cdot 7^1 + 3 \cdot 1 = 563 \]

$563$ ü beşlik tabana çevirmek için birler basamağından başlayarak $5$ lik tabanda alabileceği en büyük basamağa kadar yazalım ve bölme yapalım. Basamaklar $1,5,5^2,5^3$ tür. $5^3 = 125$ olduğundan $5^4$ ler basamağı $563$ ten büyüktür:

Sayı	Basamaklar
$563$	$5^3$	$5^2$	$5$	$1$
$- 500 $	$4$	$2$	$2$	$2$
$ 63 $
$ -50 $
$ 13 $
$ -10 $
$ 3 $
$ -3 $
$ 0 $

Böylece $x = (4222)_5$

dört işlem bölümünde ayrıntı ile anlatıldığı gibi direk bu tabanda toplama yapabiliriz. Toplama yaparken elde ettiğimiz toplamı tabana bölüp bölümü elde olarak geçireceğiz ve kalanı da yazacağız. Örneğin birler basamaklarının toplamı $7$. Bunu $5$ e böldüğümüzde bölüm $1$ elde geçecek ve kalan $2$ de yazılacak. Bu şekilde ilerlediğimizde cevap $422$

Dört tabanında en büyük rakam $3$ tür, aynen on tabanında $9$ olması gibi. Buna göre en büyük üç basamaklı sayı $333$ tür, rakamları farklı denseydi $321$ olacaktı. Bu sayıyı onluk tabana çevirelim. Sayı $(333)_4$ ve dörtlük tabanda basamaklar $1,4,4^2 \cdots $ diye gittiğinden saytnın üstüne basamak değerlerini yazarsak:

Basamaklar	$4^2$	$4^1$	$1$
Sayı	$3$	$3$	$3$

Çözümlersek:
\[ 3 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 63 \]

$63$ sayısını $5$ lik tabana çevirmek için sayının alabileceği en büyük basamağa kadar yazıp bölme yapalım. Basamaklar $1,5,5^2$ dir $5^3 = 125$ olduğundan sayıdan büyüktür.

>

Sayı	Basamaklar
$63$	$5^2$	$5$	$1$
$- 50 $	$2$	$2$	$3$
$ 13 $
$ -10 $
$ 3 $
$ -3 $
$ 0 $

Sayıları çözümleyip eşitlersek:
\[ 4a + 4 = 3b + 4 \ise 3b = 4a = \]
Bu denkleme uyan en küçük $a$ ve $b$ değerleri $a = 3$ ve $b = 4$ tür. Ancak unutmayalım belli bir $a$ tabanında rakamlar $0$ dan $a-1$ e kadardır. $(44)_a$ sayısında $4$ rakamı geçtiğinden taban en az $5$ olabilir. Buna göre en küçük değer $a=6$ ve $b=8$ ve $a + b = 14$

$6$ lık tabanda en büyük rakam $5$ tir. İki basamaklı dendiğinden altılar basamağında $0$ kullanamayız: $ab$ şeklinde düşünürsek $a$ için $5$ rakam ve $b$ için $6$ farklı rakam kullanılabilir ve toplam $30$ sayı yazılabilir.

$(a3)_4$ sayısını çözümlersek

Basamaklar	$4$	$1$
Sayı	$a$	$3$

\[ 4a + 3 \]
Benzer şekilde diğer sayı

Basamaklar	$4^2$	$4$	$1$
Sayı	$a$	$a$	$1$

\[ a \cdot 4^2 + a \cdot 4 + 1\cdot 1 = 20a + 1 \]

İki sayıyı toplayarak $124$ e eşitlersek

\[ 24a + 4 = 124 \ise a=5 \]