Tabanda teklik çiftlik
Onluk taban dışındaki tabanlarda teklik çiftlik üzerine biraz düşünelim. Nedenine geleceğiz ama onluk tabanda bir sayının çift olduğuna birler basamağına bakarak karar veriyoruz. Bu sadece onluk taban için değil tüm çift tabanlar için geçerlidir. Taban çift sayı ise birler basamağı sayının teklik çiftliğini belirler. Taban tek ise rakamlar toplamı belirler.
- Taban çift sayı ise sayının tek veya çift olduğunu birler basamağı belirler.
- Taban tek sayı ise sayının tek veya çift olduğunu rakamlar toplamı belirler.
Örneğin $(123)_6$ sayısında taban çift olduğu için birler basamağına bakılır. Birler basamağı tek olduğundan sayı tektir. $(342)_7$ sayısında taban tek sayı olduğundan rakamlar toplamına bakılır. Rakamlar toplamı $3+4+2 = 9$ ve tek olduğundan sayı tektir.
Peki neden?. Taban $x$ olsun ve $abc$ şeklinde bir sayı yazalım. Bu sayıyı çözümlerken her rakamın üzerine bulunduğu basamağı yazıp çarpıyorduk:
| Basamaklar | $x^2$ | $x$ | $1$ |
| Sayı | $a$ | $b$ | $c$ |
Sayıyı çözümlersek
\[ a \cdot x^2 + b \cdot x + c \cdot 1 \]
Taban $x$ çift ise zaten $x$ in bütün üsleri de çifttir. Dolayısıyla çözümleme birler basamağı dışında hep çift sayı üretir.
Taban $x$ tek ise tüm üsleri de tektir. O zaman $a \cdot x^2$ nin teklik çiftliğine bakarken $x^2$ ile çarpmaya gerek yok. Çünkü $x^2$ ile yani tek bir sayı ile çarpıyorsak çarpımın sonucunu $a$ belirler. $a$ tek ise $ax^2$ de tektir. $a$ çift ise $ax^2$ de çifttir. Dolayısıyla çözümlemenin teklik çiftliği ile $a + b + c$ nin teklik çiftliği aynıdır.
Çözümlenmiş halden direk sayıyı yazma
Örneğin $x$ tabanında şu sayıyı düşünelim:
\[3x^2 + 2x + 5 \]
$x$ beşten büyük olmak üzere(çünkü taban rakamlardan büyük olmak zorundaydı) sayı direk $325$ tir. Çünkü $x$ tabanında basamaklar $1,x,x^2$ diye gider ve $325$ i çözümlersek verilen ifadeyi elde ederiz. Onluk tabandan örneğin
\[5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 4 \]
verilmişse sayıyı direk yazabiliriz. Binler basamağı $5$, yüzler basamağı $3$ vs... ve sayı $5324$ tür.
Gene $x$ tabanında $4x^3 + 3x + 7$ verilsin ve $x \gt 7 $ olsun. Bu durumda $x^3$ ler basamağı $4$, dikkat edelim $x^2$ ler basamağı $0$ ve sayı $(4037)_x$.
Burada bir zorluk taban kendisinden büyük bir sayıyla çarpılmışsa çıkıyor. Örneğin onluk tabanda \[ 13 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 5 \]
verilsin. Yüzler basamağının $13$ olmadığı açık. Bu durumda $10$ tane $100$ bin edeceğinden bunu binler basamağına yollamalıyız. Çarpanı taban ve artanı şeklinde ayıralım:
\[ 13 \cdot 100 = (10+3) \cdot 100 = 1000 + 3 \cdot 100 \]
Bu durumda verilen sayının binler basamağı $1$, yüzler basamağı $3$ oldu ve sayı $1375$
Örnek
$7 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5 $ şeklinde verilen sayının beşlik düzende ifadesi nedir?
Çözüm
Mesele bu çarpmaları yapmadan yukarıda anlatılanlarla bu sayıyı standart beşlik düzende çözümlenmiş bir sayıya çevirmek, böylece direk basamakları göreceğiz. $5^3$ ler basamağı $7$ ile çarpılmış bir basamak tabandan büyük bir sayı ile çarpılırsa ayıracağız:
\[ 7 \cdot 5^3 = (5+2) \cdot 5^3 = 5^4 + 2 \cdot 5^3 \]
İşimiz bitti, $5^4$ ler basamağı $1$ ve $5^3$ ler basamağı $2$ imiş. Verilen çözümleme ve sayı
\[ 5^4 + 2 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5 = 5^4 + 2 \cdot 5^3 + 0 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 0 \cdot 1 = (12040)_5 \]