Pozitif açılar
Verilen bir açının esas ölçüsü, birim çemberde bizi o açıyla aynı noktaya götüren en küçük pozitif açıdır. Örneğin $390^{\circ}$'nin trigonometrik değerlerini bulmak istiyorsak birim çemberde $30^{\circ}$ dönmemiz yeterli olur. Çünkü $360^{\circ}$ dönünce aynı noktaya yani başlangıç noktasına geri gelmiş oluyoruz. Demek ki trigonometrik tartışma açısından $360^{\circ}$'a eşit veya büyük açıların içinden $360$'ları atabiliriz. Küçük açılar için kafadan yapabiliriz örneğin $500 \equiv 140$, $400 \equiv 40$, $360 \equiv 0$, ancak büyük açılarda pratik olmak için bölme yapmalıyız ve kalanı esas ölçü olarak almalıyız. Örn $4000 \equiv 40 $, $1850 \equiv 50$.
Açı radyan verilmişse gene içinden $360$'ları yani $2\pi$'leri atmalıyız. Bunu yapmanın pratik yolu payı, paydanın iki katına bölmek ve kalanı sonucun payına yazmaktır. Payda aynı kalır.
Örnek
$\frac{11\pi}{3} = $, $\frac{23\pi}{4} = $, $\frac{6\pi}{2} = $ açılarının esas ölçülerini bulunuz.
Çözüm
-
$\frac{11\pi}{3}$ için $11$ i paydanın iki katı olan $6$ ya bölersek kalan $5$, verilen payda $3$,
cevap:$ \frac{5\pi}{3}$ - $\frac{23\pi}{4}$ için $23$ ü paydanın iki katı olan $8$ ebölersek kalan $7$, verilen payda $4$,
cevap:$ \frac{7\pi}{4}$ - $\frac{6\pi}{2}$ için $6$ yı paydanın iki katı olan $4$ e bölersek kalan $2$, verilen payda $2$,
cevap:$\frac{2\pi}{2}=\pi$
negatif açılar ve radyan
Negatif açılarda durum biraz daha karışık. Örneğin $-30^{\circ}$'nin esas ölçüsü $360$ ekleyerek bulunur. Çünkü bir açıya $360$ ekleyip çıkarmak birim çember üstündeki yerini değiştirmez.
Ancak daha küçük açılarda örneğin $-1000^{\circ}$'nin esas ölçüsü bulunurken gene bölme yapacağız, ancak böleni $1000$'i geçecek şekilde ayarlayacağız. Yani $1000$'de $360$ iki kere varsa bir fazlasını vereceğiz.
division_turnstile(-1000,360,3,80,1080);
?>
$-2000$'in de esas ölçüsünü bulmaya çalışalım. Negatif derecelerde yukarıdaki yolu kullanabileceğimiz gibi, pozitif gibi düşünerek bulduğumuz açıyı $360^{\circ}$ den çıkarabiliriz. $2000$ i $360$ a bölersek kalan $200$ dür. Pozitif olsaydı esas ölçü buydu. Negatif olduğu için $360-200=120^{\circ}$ dir.
Negatif radyanlarda da pozitif de olduğu gibi paydanın iki katına böleceğiz ancak gene böleni normalde yaptığımızdan bir fazla alacağız.
Örneğin $\frac{-13\pi}{4}$'ün esas ölçüsü için
division_turnstile(-13,8,2,3,16);
?>
Kalan $3$, payda $4$, cevap $\frac{3\pi}{4}$
Radyanda da ikinci yol, gene pozitifmiş gibi esas ölçü bulup bu değeri $2\pi$'den çıkarmaktır.
Esas ölçü çalışması
Temel özdeşlik ve sadeleştirme soruları
Burada birim çembere geri dönersek bir açı için pisagordan gelen
\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1 \] temel özdeşliği görebiliriz.
Buradan çıkan iki eşitliğe daha dikkat edelim.
\[ \sin^2 \theta= 1- \cos^2 \theta \]
\[ \cos^2 \theta = 1- \sin^2 \theta \]
Son eşitliklerde \[1-\cos^2 \theta = (1- \cos \theta )\cdot (1+ \cos \theta )\]
ve \[ 1-\sin^2 \theta = (1- \sin \theta ) \cdot (1+\sin \theta ) \] olduğuna dikkat edelim ($a^2-b^2 =(a-b) \cdot (a+b)$)
Sadeleştirme sorularında $1- \sin \theta$ veya $ 1-\cos \theta$ türü paydalar gördüğümüzde bunları eşlenikleri ile çarpacağız ve paydayı daha sade bir hale getirmiş olacağız. Bunu yanında tüm trigonometrik fonksiyonları $sin$ ve $cos$ cinsinden yazacağız.
Örnek
\[ \frac {\sin^2 \alpha}{1-\sin \alpha} + \frac {\sin^2 \alpha}{1+\sin \alpha} \] ifadesinin en sade şekli nedir?
Çözüm
Paydaları eşitlersek \[ \frac {\sin^2 \alpha \cdot (1+\sin \alpha)}{(1-\sin \alpha ) \cdot (1+\sin \alpha)} + \frac {\sin^2 \alpha \cdot (1-\sin \alpha) }{(1+\sin \alpha)\cdot (1-\sin \alpha)} = \]
\[ \frac {\sin^2 \alpha \cdot (1+\sin \alpha)}{(1-\sin^2 \alpha )} + \frac {\sin^2 \alpha \cdot (1-\sin \alpha) }{(1-\sin^2 \alpha)} = \]
\[ \frac {\sin^2 \alpha \cdot (1+\sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} + \frac {\sin^2 \alpha \cdot (1-\sin \alpha) }{\cos^2 \alpha} = \]
\[ \frac {\sin^2 \alpha + \sin^3 \alpha + \sin^2 \alpha - \sin^3 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}=2 \tan^2 \alpha \]
Örnek
$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{4}$ ise $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ değeri nedir?
Çözüm
İki tarafın karesi alınırsa \[ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = ( \frac{3}{4})^2 \]\[ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{9}{16} \]
\[ 1+ 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{9}{16} \rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{-7}{32} \] çıkar.
Örnek
\[ \frac{ 1+ \sin \alpha}{\cos \alpha}+ \frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} \] ifadesinin en sade şekli nedir?
Çözüm
\begin{align*}
\frac{ 1+ \sin \alpha}{\cos \alpha}+ \frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha} & = \\
\frac{ 1+ \sin \alpha}{\cos \alpha}+ \frac{\cos \alpha \cdot (1-\sin \alpha) }{(1+\sin \alpha) \cdot (1-\sin \alpha) } &=
\frac{ 1+ \sin \alpha}{\cos \alpha}+ \frac{\cos \alpha \cdot (1-\sin \alpha) }{1-\sin^2 \alpha } \\
& = \frac{ 1+ \sin \alpha}{\cos \alpha}+ \frac{\cos \alpha \cdot (1-\sin \alpha) }{\cos^2 \alpha } \\
& = \frac{ 1+ \sin \alpha}{\cos \alpha}+ \frac{(1-\sin \alpha) }{\cos \alpha } \\
& = \frac {2}{\cos \alpha} = 2 \sec \alpha \\
\end{align*}
Örnek
\[ \tan x + \frac{\cos x}{1+\sin x} \] ifadesinin en sade şekli nedir?
Çözüm
\[ \frac{\sin x}{ \cos x} + \frac{(\cos x)(1-\sin x )}{(1+\sin x)(1-\sin x)} = \frac{\sin x}{ \cos x} + \frac{(\cos x)(1-\sin x )}{\cos^2 x} \]
\[ \frac{\sin x}{ \cos x} + \frac{(1-\sin x )}{\cos x}= \frac{\sin x +1-\sin x }{\cos x} = \sec x \]
Örnek
\[ cos \alpha + \tan \alpha \sin \alpha \] ifadesinin en sade şekli nedir?
Çözüm
\[ cos \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \sin \alpha = \cos \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \]
\[ \frac {\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}= \frac{1}{\cos \alpha}=\sec \alpha \]
Örnek
$ \tan \alpha - \cot \alpha=2 $ ise $\tan \alpha + \cot \alpha $ nedir?
Çözüm
Her iki tarafın karesini alırsak \[(\tan \alpha - \cot \alpha)^2=4 \]
\[ \tan^2 \alpha - 2 \tan \alpha \cot \alpha + \cot^2 \alpha = 4 \]
$ \tan \alpha \cot \alpha =1$'dir. Dolayısıyla $\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = 6 $ çıkar.
\[ (a^2+b^2= (a+b)^2-2ab \] olduğunu hatırlayalım.
\[ \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha =( \tan \alpha + \cot \alpha)^2 - 2 \tan \alpha \cot \alpha \]
\[ 6 =( \tan \alpha + \cot \alpha)^2 - 2 \]
\[ \tan \alpha + \cot \alpha = \sqrt {8}=2 \sqrt{2} \]
Örnek
\[ \frac{\sin^3 x + \cos^3 x }{1-\sin x \cos x} + \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{1+\sin x \cos x} \]
Çözüm
Hemen iki özdeşliği hatırlayalım: \[ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \qquad a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \]
\[ \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x )}{1-\sin x \cos x} + \frac{(\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) }{1+\sin x \cos x} \]
$\sin^2 x + \cos^2 x =1 $ olduğundan
\[ \frac{(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x )}{1-\sin x \cos x} + \frac{(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) }{1+\sin x \cos x} \]
\[ (\sin x + \cos x) + (\sin x - \cos x) = 2 \sin x \]