Çözüm

1. $A=B$

\begin{align*}
x+\frac{\pi}{6} &=2x-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ve } k \in \mathbb{Z}\\
\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}- 2k\pi &= x\\
x &= \frac{\pi}{2} + 2k\pi & \textit{$+2k\pi$ ile $-2k\pi$ arasında bir fark yok!}\\
\end{align*}

2. $A= 180-B$

\begin{align*}
x+\frac{\pi}{6} &= \pi-(2x-\frac{\pi}{3}) + 2k\pi \text{ ve } k \in \mathbb{Z}\\
3x &= \pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\
x &= \frac{7\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} & \textit{$2k\pi$ eklemeyi $x$ i çektikten sonra değil hemen yapıyoruz} \\
\end{align*}

Çözüm

Sinüsü $\frac{-1}{2}$ olan açılardan birini bulmamız yeterli. Örneğin $210^{\circ}$ ya da $\frac{7\pi}{6}$.
\[ \sin (2x+\frac{\pi}{3}) = \sin \frac{7\pi}{6}\]

1. $A=B$

\begin{align*}
2x+\frac{\pi}{3} &= \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \\
x &= \frac{5\pi}{12} + k\pi\\
\end{align*}

2. $A=180-B$

\begin{align*}
2x+\frac{\pi}{3} &= (\pi - \frac{7\pi}{6}) + 2k\pi \\
x &= \frac{\pi}{12} + k\pi\\
\end{align*}

Çözüm

$\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ özdeşliğini yazarsak verilen ifade bir ikinci derece denkleme dönüşür.

\begin{align*}
3\sin x + \cos 2x + 1 &= 0\\
3\sin x + 1 - 2\sin^2 x + 1 &= 0 \\
2\sin^2 x -3 \sin x -2 &=0 & \textit{ İki tarafı $-$ ile çarptık.}\\
(2\sin x +1)(\sin x -2) &= 0\\
\end{align*}

Çarpanların $0$ a eşitlenmesi ile iki denklem elde ediyoruz.

\begin{align*}
2\sin x +1 &=0 \\
\sin x - 2 &= 0
\end{align*}
İkinci denklemin çözümü olmadığı açıktır. İlk denklemden $\sin x = -\frac{1}{2}$ çıkar ve sinüsü $\frac{-1}{2}$ olan açı $\frac{7\pi}{6}$ olduğundan
\begin{align*}
x &= \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ (1) }\\
x &= \pi - \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \text{ (2) }
\end{align*}

Çözüm

Verilen denklem çarpanlara ayrılırsa:
\[ (2\cos x +1)(\cos x -1) \]
Buradan iki denklem elde ediyoruz.

1. $\cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow \cos x = \cos \frac{2\pi}{3} $

• $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi $


• $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi $

2. $\cos x =1 \rightarrow \cos x = \cos 0$

• $x = 0 + 2k\pi$


• $x = -0 + 2k\pi$ ki bu denklem yukarıdaki ile aynıdır.

tan A = tan B ya da cot A = cot B

Burada $\sin$ ve $\cos$ taki gibi iki denklem değil tek bir denklem yeterlidir. Bunun sebebi tanjantları aynı olan ve esas ölçüleri farklı olan (birim çemberde aynı noktaya götürmeyen) iki açının uzaklığının hep $180$ ya da $\pi$ olmasıdır. Hem $\tan$ hem de $\cot$ da
\[ A = B + k\pi\] yapmak yeterlidir.

Çözüm

Tanjantı $-1$ olan tek bir açı bulmak yeterli, örneğin $\frac{3\pi}{4}$
\begin{align*}
\tan (2x-\frac{\pi}{4}) &= -1\\
\tan (2x-\frac{\pi}{4}) &= \tan \frac{3\pi}{4} \\
\end{align*}
Tek bir denklem yazacağız:
\begin{align*}
2x-\frac{\pi}{4} &= \frac{3\pi}{4} + k\pi \\
x &= \frac{\pi + k\pi} {2}
\end{align*}
Çözümün en sade hali $x=\frac{k\pi}{2}$ dir.[note2]$\pi + k\pi $ ifadesi ile $k\pi$ ifadesi teorik olarak aynıdır. $k\in \mathbb{Z}$ olduğundan $k\pi$ ifadesi sonsuza kadar $\pi$ ekleyip çıkarabileceğimizi anlatır. Bu durumda $\pi + k\pi $ ile elde edebileceğimiz tüm açıları $k$ yı $1$ fazla seçerek $k\pi$ ile de elde edebiliriz.[/note]

Çözüm

\begin{align*}
\sin x +\sqrt{3}\cos x &= 0\\
\frac{\sin x }{\cos x} &= \tan x = -\sqrt{3}\\
\tan x &= \tan \frac{2\pi}{3} \\
x = \frac{2\pi}{3} + k \pi \quad k \in \mathbb{Z}
\end{align*}

Çözüm

\begin{align*}
\frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{3} &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ İki tarafı da $a$ ya böldük}\\
\sin x - \frac{1}{\sqrt{3}}\cos x &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ $\cos x $ in çarpanı özel bir $\tan$ değeri}\\
\sin x - \tan \frac{\pi}{6} \cos x &= \frac{\sqrt{3}}{3} \\
\sin x - \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{ \cos \frac{\pi}{6}}\cos x &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ Solda payda eşitlersek} \\
\frac{\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} \cos x}{\cos \frac{\pi}{6}} &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{ Sol taraf $\sin(a-b)$ açılımıdır.}\\
\frac{\sin (x - \frac{\pi}{6})}{\cos \frac{\pi}{6}} &= \frac{\sqrt{3}}{3} & \textit{$\cos \frac{\pi}{6}$ değerini yerine yazalım. }\\ \sin (x - \frac{\pi}{6}) &= \frac{1}{2}
\end{align*}
Buradan sonra artık bildiğimiz gibi, sinüsü $\frac{1}{2}$ olan bir açı bulup $\sin A = \sin B$ durumundaki iki denklemi yazmak kaldı.

Çözüm

Her iki tarafı $\cos^2$ ye bölelim:
\begin{align*}
\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x &= 0\\
\frac{\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{\cos^2 x }&= 0 \\
\tan^2 x + 2 \tan x + 1 &= 0\\
(\tan x + 1)^2 &=0\\
\tan x &= -1 \\
\tan x &= \tan \frac{3\pi}{4} \\
x &= \frac{3\pi}{4} + k \pi \quad k \in \mathbb{Z}\\
\end{align*}