• ders
• video
• test

Referans açısı nedir?

Birim çemberi dikkatli incelersek sinüsü örneğin $30^{\circ}$ ile aynı olan bir açı daha olduğunu görürüz. Bu açı $150^{\circ}$'dir.
Grafikte oluşan üçgenleri düşünürsek aslında $150^{\circ}$'nin kosinüsünün de mutlak değerce yani işareti düşünmezsek $30^{\circ}$ ile aynı olduğu anlaşılır. Kosinüsü aynı olan açı, yani çember üstünde $x$ koordinatı bizim açımızla aynı olan diğer açı da $330$ ya da başka bir deyişle $-30$ derecedir.

Aslında kosinüs ve sinüs değerleri aynı olan $4$ açı var(işaret düşünmüyoruz). Çünkü birbirne tamamen eş dik üçgenler oluşmaktadır. Bunlar $30^{\circ}$, $150^{\circ}$, $210^{\circ}$ ve $330^{\circ}$. Bu dört dik üçgen şekilde görülmektedir.

Demek ki $210$'un trigonometrik oranlarını eğer $30$'un oranlarını biliyorsam bulabiliriz. Her açının birinci bölgede, trigonometrik oranları aynı olan bir referans açısı vardır. Bunu esas ölçü ile karıştırmayalım. Bir açının esas ölçüsü o açıyla çemberde bizi aynı noktaya götürür. Referans açısında ise aynı noktada değiliz ancak çemberin simetrisinden trigonometrik oranlar aynı çıkıyor(işaret hariç).

Bu noktada bu açının nasıl bulunduğuna bakıp sonra da işaret meselesini halledeceğiz. Bir açının referans açısı kosinüs eksenine yani $x$ eksenine uzaklığına bakılarak hesaplanır. Örneğin $210$ derece $180$'e $30$ uzaklıkta dolayısıyla $210$'un referansı $30$.

Bunun ne işe yarayacağı şekilden görülmektedir. $\sin 210^{\circ}=-\sin 30^{\circ}$ diyebiliriz. Birinci bölgede özel bazı açıların trigonometrik oranlarını bilirsek bunların diğer bölgelerdeki simetriklerinin de oranlarını biliyoruz demektir.

Radyan cinsinden verilen açılarda referans açısı bulma

Burada işler biraz daha karışık gelebilir ancak bu da bu derece birimine alışkın olmadığımızdan. Birinci bölge dışındaki bir açının birinci bölgedeki karşılığını, onunla aynı oranlara sahip olan dar açıyı arıyoruz. Açımız $\displaystyle\frac{\pi}{2}$'den daha büyük olmalı ki referansı olsun yoksa zaten kendisi referans açısı olacaktır. Yani bize verilen kesrin değerinin yarımdan büyük olup olmadığına bakmalıyız.
Örneğin $\displaystyle\frac{5\pi}{11}$ için referans aranmaz çünkü kesir $\displaystyle\frac{1}{2}$'den küçüktür.
Gene II. bölgedeki açılar için, radyanlı konuşursak $\displaystyle\frac{\pi}{2}$'den büyük $\pi$'den küçük açılar için referans o kadar zor değil. Sadece $\pi$'den açıyı ya da $\pi$'siz düşünürsek $1$'den kesri çıkaracağız. Örneğin $\displaystyle\frac{5\pi}{6}$'nın referansı $\displaystyle\frac{5}{6}$'nın $\displaystyle\frac{6}{6}$'ya (yani $1$'e) uzaklığı $\displaystyle\frac{1}{6}$ olduğundan $\displaystyle\frac{\pi}{6}$'dır.

Genel Sonuçlar

Herhangi bir $\theta$ açısı ve onun simetrikleri $\pi - \theta$, $\pi + \theta$ ve $2\pi - \theta$ arasında şu eşitlikler geçerlidir:

$\pi - \theta$	$\pi + \theta$	$2\pi - \theta$
$\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$	$\sin (\pi + \theta) = - \sin \theta$	$\sin (2 \pi - \theta) = - \sin \theta$
$\cos (\pi - \theta) = - \cos \theta$	$\cos (\pi + \theta) = - \cos \theta$	$\cos (2 \pi - \theta) = \cos \theta$
$\tan (\pi - \theta) = - \tan \theta$	$\tan (\pi + \theta) = \tan \theta$	$\tan(2 \pi - \theta) = - \tan \theta$
$\cot (\pi - \theta) = - \cot \theta$	$\cot (\pi + \theta) = \cot \theta$	$\cot(2 \pi - \theta) = - \cot \theta$